基于數學欣賞的數學課堂設計
——以“分式方程”為例

江蘇省太倉市實驗中學 江美紅

數學是一門美妙的學科，在數學課堂教學過程中，教師如何展現數學美，使學生能夠感受和欣賞數學美，值得我們一線教師深思。筆者在一次教學研討活動中執教一節“分式方程”新授課，本節課著眼于把數學的美學價值和美育功能落實到數學課堂上，以此提高學生學習興趣，培養學生創造能力。

一、情況分析

1.學情分析

此教學設計面對的學生是本校初二學生，我校學生的基礎知識非常扎實，數學能力較好，學習積極性較高，具有一定探索解決問題的能力。

2.教材分析

（1）教材地位：《分式方程》是蘇科版第八章《分式》的主要內容之一，是分式的基本概念、基本性質、運算之后的重點內容，也是為后面列分式方程解應用題打下基礎。

（2）教學目標：

①知識與技能：理解分式方程的概念、解法、增根的概念及增根產生的原因。

②過程與方法：通過學生親歷知識探索、形成過程，讓學生感受方程是描述現實世界的模型，同時發展學生能力。

③情感、態度與價值觀：學生在數學活動中運用知識解決問題，通過合作學習增進同學之間的合作，通過體驗成功，樹立學好數學的自信心。

（3）教學重點：探索解分式方程的基本思路和分式方程的解法。

（4）教學難點：理解分式方程可能產生增根的原因。

二、教學簡錄

1.創設情境，引入課題

師：同學們，最近天氣時陰時雨，大家到校非常辛苦，老師想知道大家早上是怎么到校的？（生答）

師：你們知道老師是怎么到校的嗎？（生答）

師：對。老師平時是乘車到校，但今天由于某種原因，老師步行到校。老師的家到學校有2km的路程，老師每天早晨都是7：00從家里出發，今天步行到校比平時乘汽車到校晚了18分鐘，通過老師估測，汽車速度是步行速度的10倍，同學們，你能幫老師求出步行的速度嗎？（思考片刻）

生：我是用方程思想解決的。設步行的速度為xkm/h，則汽車的速度為10xkm/h，根據步行到校比平時乘汽車到校晚了18分鐘，可列出方程：

【設計意圖：本節課從實際問題開始，選取簡單的生活實例，讓學生從實際問題數量關系的探索中，發現一類未知數出現在分母中的新方程——分式方程。學生在欣賞這些問題情境的同時，一方面從中可提煉出數學問題，說明引入分式方程的必要性，另一方面可激發學習興致，提升學習動力】

2.類比歸納，探究新知

師：我們以前學過哪些方程？

生：學過一元一次方程、二元一次方程。

師：請在黑板上列舉一元一次方程和二元一次方程。

生：分母中出現了字母，也就是方程的左邊是一個分式，所以它不是整式方程，應該叫分式方程。

師：怎樣的方程叫分式方程？

生：分母中含有未知數的方程叫作分式方程。

師：你能再舉些分式方程的例子嗎？（生答）

師：任意寫出幾個方程，與同桌合作，找出其中的分式方程。

【設計意圖：引導學生分析所列方程的特征，類比一元一次方程、二元一次方程，找出它們的區別與聯系，建立分式方程的概念。學生通過嘗試、辨析、修正、總結，對分式方程概念的體會更深刻】

3.合作交流，類比探究

師：老師今天步行的速度是多少呢？

生：左邊利用通分化為同分母分式，再利用分式減法把原方程化為：利用分式的性質得：10x=60，解得x=6。

生：先去分母，方程兩邊同時乘以60x得：120-12=18x，解得x=6。

師：你是怎樣想到去分母的？

生：去分母可把原方程化為一元一次方程。

師：剛才三種解法有什么共同點嗎？

生：都是把分式方程轉化為整式方程。

師：解出的x的值，是原方程的解嗎？（生答）

師：對比上面三種方法，哪種更簡便？（生答）

師：請同學們歸納解法。

生：去分母將分式方程轉化為一元一次方程。

【設計意圖：給學生充分的探索與交流時間，讓學生動手操作、自主探索和合作交流，學生欣賞分式方程的不同解法，發展創造性思維能力，對知識的理解會更加深刻】

4.層層深入，揭示區別

生：我解出方程的解是x=3，但發現當x=3時，原方程的分母為0，無意義了。所以原方程應該是無解的。

生：x=3是去分母后整式方程的解，但它卻不是原分式方程的解。

師：對！這樣的解叫作原方程的增根。

師：為什么會產生增根呢？解方程時哪個步驟出錯了？（思考片刻后）

生：去分母步驟出錯，方程兩邊同乘以x=3，而x=3使得x=3的值為0，即方程兩邊同時乘以0，所以x=3適合化簡后的整式方程，而不適合原方程。

師：對！方程兩邊同時乘以0，擴大了原方程解的范圍，因此會產生增根。所以，解分式方程時，要注意些什么呢？

生：把解得的x的值代入分母的最簡公分母中進行檢驗。

師：對！如果最簡公分母的值為0，那么解是原方程的增根，原方程無解；如果最簡公分母的值不為0，那么解就是原方程的根。

【設計意圖：這是本節課的重要環節，增根是重點，也是難點，在教學時給足學生思考的時間，讓學生體會增根產生的原因以及解分式方程檢驗的必要性】

三、教學反思

1.欣賞數學知識奇異之美

數學中的奇異之美主要是指結果新穎獨特、出人意料，引起學生強烈的驚詫。按學生以往的學習習慣，學生很難理解解出的方程的解居然不是原分式方程的解，這個結果是學生意料之外的，增根對學生來說更是新奇的知識，這種數學知識的奇異性很容易激發學生的創造欲望，促使學生進一步思考產生增根的原因以及理解解分式方程的步驟中檢驗的必要性。探究新知識、新方法、新規律，總能讓學生感到奇異的美感，產生驚奇的快感，從而激發學生的學習熱情，令學生興奮，受到吸引。

2.欣賞同伴創造之美

在數學課堂教學中，教師要充分相信學生、依靠學生。案例中，教師不直接給出結果，而是給學生一個想象的空間。學生類比聯想一元一次方程的解法，嘗試去分母將方程轉化為整式方程。但由于方程的特殊性，學生想到利用分式的基本性質轉化、通過分式的通分或直接去分母等方法，通過多種方法的交流，拓寬了學生的思維。對于分式方程增根問題，教師更是大膽放手，把時間讓給學生，通過小組合作討論等形式進行合作學習，從而悟出產生增根的原因，突破難點。以探究任務引導學生自學自悟，提供給學生自主合作探究的舞臺，在交流中增加學生之間的信任，欣賞同伴意想不到的精彩。