以一道最值問題的推廣來培養學生的核心素養

江蘇省常州市第五中學 趙艷芝

在教學過程中，讓學生解數學題是家常便飯。但不能只是簡單解題，有時候解完題后再多問幾個為什么，或許會“別有滋味”，在我們沉浸于“原來如此”的喜悅的同時，可以在解題的思路更新和能力創新方面得到真實的歷練。最近在學習向量的教學過程中，就遇到了一道題，在我的引導與鼓勵下，學生嘗試著對問題進行變式推廣。

一般情況下，向量問題有三種處理思路，即直接法、坐標法和基向量轉換法。學生考慮到這道題沒有給出向量長度和夾角，從而用定義直接處理的思路就否定了；因為題目中有垂直，故在處理時，學生自然首選坐標法。以A為原點、AC為x軸建立平面直角坐標系，其解題過程如下：

因BC的直線方程為故而設

本來題目做到這兒就可以結束了，但有同學發現時，線段MN恰好處于線段BC的中間位置（MN的中點即為BC的中點）；而或1時，MN偏向線段BC的一側（有一個端點與線段BC的端點重合），加之本題的背景是等腰直角三角形，從圖形的對稱性上也能解釋特殊法的合理性，于是有同學就想：這樣的結論是否可以推廣到一般的等腰三角形中呢？

接下來，我用GeoGebra軟件做了推廣驗證（如下圖），改變M點的位置，得到數量積的計算值；而以M點的橫坐標、數量積的計算值分別為橫縱坐標構造E點后，以M點為主動點、E點為從動點構造軌跡。軌跡圖像有力地支持了學生的猜想，而這樣的圖像特性（在中點處取得最小值、在端點處取得最大值）恰與角的大小無關，真是“有圖有真相”，這一驗證讓學生頓時信心百倍。

回首這道題的解體過程，經過討論學生發現，之所以沒證出來，關鍵是題設字母設得不合理，MN這一定值不應設為絕對值，而應設為相對值（可設為這樣計算起來應該方便些。再者，考慮到書上有關于三點共線的一個結論：點在直線上，則有且于是在我的鼓勵下，學生修正了原來的解法，整理推廣過程如下：

MN在BC上，所以有

題目解到這兒已是不易，接下來往哪兒走卻很關鍵。在此提醒學生冷靜冷靜，回頭看，學生發現題中有M、N兩個動點，它們分別對應著變量和，這樣四個字母中就只有和是變量了，于是只需要重點考慮即可，結合兩限制條件可以想到消元，于是想到干脆提取出來設一個函數進行研究：

這次探究經歷于學生而言，“得”遠遠大于“失”，“失”的是寶貴的時間（過程很費周折），“得”的卻是對數學解題滿滿的體驗：首先是對數學解題的全新思考。通過題目特殊位置、特殊值的分析，猜想一般化的結論，繼而證明猜想，從而發現有關數量積范圍的推廣命題，我覺得這才是日常做數學的感覺。其次，數學解題需要有一定的想象和思維發散。在推廣過程中鍛煉了學生的發散思維，使學生對問題的本質認識更加清晰，事實上，原題中即相當于推廣題中的這樣只要將推廣題的證明稍作改動，就得到原題的基向量的證法。最后，數學解題需要明辨方向、梳理思路。原來學生之所以會陷入困境，主要還是忽視了書上的三點共線性質，而有了這次經歷，下次再遇到含多個字母的試題，相信學生會更有底氣、有毅力。