函數思想在高中數學解題中的應用

江蘇省南京市文樞高級中學 王婷婷

數學思想方法不僅對學生的數學解題有一定的幫助作用，還有助于教師提升教學效果，數學思想在學生數學學習的過程中，可以將學生所學習的知識轉化為實際的數學能力，有利于學生形成嚴密的數理邏輯思維和良好的認知結構。函數思想作為數學思想中的一類，在高中數學解題中可以將已知的數學條件構建成函數關系，再利用函數關系來解決，對于促進學生數學學習和數學素養的提升具有重要的作用。

一、函數思想

函數反映的是某一個事物隨著另一事物的變化而發生變化的規律與關系，由此可見，函數思想體現的是量與量之間的關系，這種關系是動態的，并不是一直保持不變的。因此，我們可以認為函數的本質就是對應，例如函數y=f（x），其中主要的構成要素就是自變量的變化范圍與對應法則f，占據主導地位是自變量的變化，函數的值域是由定義域與對應法則共同決定的。

本篇文章所說的函數思想在高中數學解題中的應用，其實就是指將實際的數學問題轉變為函數，利用函數來解決實際問題。根據筆者的經驗與思考，認為函數思想在高中數學解題過程中的應用主要有以下三種方式：首先是整體法，通過對于需要解決的數學題進行整體結構與整體形式的處理，讓所要解決的數學題目變得更加容易理解；其次是歸納假設法，這種方法是我們在解決數學問題中的常用方法，主要是先對數學問題通過歸納猜想法進行觀察和嘗試，接著利用不完全歸納法對所要解決的數學問題進行歸納假設，最后對其假設進行驗證；最后是遞推思想法，這種方式指的是對于所要解決的數學問題中的遞推關系進行探索、應用和構建，從而協助問題的解決。

二、函數思想在高中數學解題中的應用

利用函數思想解決高中數學中的問題，是目前比較常用的方法，通常會與分類討論、數形結合以及化歸轉化的數學思想存在一定的聯系。目前，運用函數思想可以解決高中數學中的方程、數列、不等式以及其他問題。本文主要從以下幾點淺談了函數思想在高中數學解題中的應用：

1.函數思想在高中數學不等式的解題中應用

不等式證明在高中數學學習中具有重要的地位，而在解決不等式問題的過程中，應用函數思想，就是對相應函數的零點、正負區間和單調性等實際問題進行研究。所以，在解決不等式問題的時候，利用函數思想可以提升解決問題的效率與準確性。例如，已知：3n+m＜n2+5+nm恒成立，且0≤m≤3，求n的范圍。運用函數思想，我們可以將其建立為相應的函數關系：y=（n-1）m+n2-3n+5，不等式就可以轉化為y＞0，再加上已知條件0≤m≤3，就可以比較方便地得出n的取值范圍。

2.函數思想在高中數學方程解題中的應用

函數方程思想作為數學思想的一種，在解決實際的數學問題過程中也時常被應用。通過研究分析可以發現，在數學領域中，方程與函數的關系通常是比較密切的，方程是函數的重要組成因素，函數包含著方程。所以，運用函數思想是解決高中數學方程問題的重要手段。例如，已知（x-n）（x-m）=6，a和b是方程的兩個根，且n＞m，b＞a，求實數n、m、a、b的大小關系，在解決這一問題的時候，我們可以將其轉變為兩個函數：f（x）=（x-n）（x-m）-6和g（x）=（x-n）（x-m），然后再進行解決，就會使原本比較抽象的數學問題變得簡單，解決的效率與準確性也有一定的提升。

3.函數思想在高中數學數列中的應用

數列在高中數學中作為一個比較特殊的函數，可以將它看作一個方程組或者方程，也就是將其當作一個函數解析式。對于數列，我們可以理解為其是通過自變量得到離散數值的一種特殊函數。因此，我們在運用函數思想解決數列問題的時候，需要結合函數的性質與模式，加強對于數列含義、等比數列中的通項和中項以及等差數列的單調性等的理解。例如，在等差數列{bn}中公差d的幾何意義就是這個等差數列中，每一個點所在的直線斜率。再比如，在等差數列的求和公式我們在運用函數思想解決這一問題的時候，可以對這個等差數列做出相應的改變，這就可以將這個問題轉變為有關于n的二次函數，簡化了解決問題的方法，從而有效提高了解決問題的效果。

總而言之，運用函數思想來解決高中數學具有良好的效果，對培養學生的數學思維能力，函數思想在高中數學解題中具有廣泛應用，對于激發學生的數學興趣具有十分重要的作用。在高中數學的解題過程中，利用函數思想可以有效提高解決問題的準確性與速度，有助于提升學生的數學成績。因此，教師在高中數學教學過程中，應該加強學生數學思想的培養，不僅僅是函數思想，引導學生在解決問題的過程中選擇合適的數學思想，從而進一步提升數學知識的應用能力。