運(yùn)用反證法，構(gòu)建實效初中數(shù)學(xué)課堂

江蘇省海門市開發(fā)區(qū)中學(xué) 劉 波

反證學(xué)習(xí)法恰好與學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的正向思維方式相反，它是由果推因的一種學(xué)習(xí)模式，對培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力有著很好的推動作用。在數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中，教師可以結(jié)合具體數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用反證法來解決問題，以更好地鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

一、巧用反證法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維博大精深，逆向思維是數(shù)學(xué)思維的一種，也是初中生必備的一項技能，它需要學(xué)生改變自己傳統(tǒng)思維模式，更加靈活地思考、探究。作為教師，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生能夠更好地發(fā)展。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可以巧妙地設(shè)計一些數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生能夠運(yùn)用反證法解決問題，進(jìn)而更好地活躍學(xué)生學(xué)習(xí)思維，促進(jìn)學(xué)生深入思考。

例如：在教學(xué)“二次根式”時，教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)了無理數(shù)的知識內(nèi)容后，向?qū)W生提出一個問題：證明是一個無理數(shù)。學(xué)生在拿到這一問題后開始分析、思考，想到無理數(shù)的知識，無限不循環(huán)小數(shù)是一個無理數(shù)，要想證明這個數(shù)是一個無理數(shù)，只需要證明它是一個無限不循環(huán)小數(shù)即可，但學(xué)生卻在思考了一定時間后，發(fā)現(xiàn)直接證明它是一個無限不循環(huán)小數(shù)有點困難，一時之間不知道該如何思考。此時，教師引導(dǎo)學(xué)生從相反的方向思考這一問題，讓學(xué)生逆向思考。于是，學(xué)生試著假設(shè)不是無理數(shù)，也就是說是一個有理數(shù)。如果最后證明的結(jié)果與自己的假設(shè)相矛盾，那就說明是一個無理數(shù)，隨后學(xué)生們開始證明思考。學(xué)生也在思考探究的過程中，發(fā)現(xiàn)這樣反著證明顯得很簡單，從中很好地體驗到反證法的價值。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用反證法解決數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生可以有機(jī)會換思維思考數(shù)學(xué)問題，這種學(xué)習(xí)模式很好地活躍了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)了學(xué)生高效發(fā)展，也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)與應(yīng)用之中感受到數(shù)學(xué)思想的價值與魅力，達(dá)成輕松學(xué)習(xí)、巧妙突破的效果。

二、巧用反證法，提升學(xué)生解題效率

一些數(shù)學(xué)問題有著多種不同的方法去解決，并不是一成不變的，它具有很強(qiáng)的靈活性。作為教師，應(yīng)更多地引導(dǎo)學(xué)生換思維思考問題，靈活學(xué)生的思維。而反證法學(xué)習(xí)方式對活躍學(xué)生數(shù)學(xué)思維意義重大，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可以在學(xué)生解決問題時適時地運(yùn)用反證法，以更新學(xué)生解題思路，更好地提升學(xué)生的解題效率。

例如：在教學(xué)“圖形與證明”時，教師為學(xué)生們設(shè)計一道數(shù)學(xué)練習(xí)題：用反證法證明一個三角形的三個外角中至多有一個外角是銳角。隨后，學(xué)生開始先給出假設(shè)，但其中“至多有一個”一詞需要一番考量。這時，有學(xué)生想到“至多有一個”相對應(yīng)的是“至少有兩個”，于是，學(xué)生給出了假設(shè)：一個三角形的三個外角中，三個外角至少有兩個是銳角。之后，根據(jù)自己的假設(shè)開始思考分析。很快便有學(xué)生根據(jù)外角的一些性質(zhì)，得出一個外角的度數(shù)等于與它不相鄰兩個內(nèi)角的度數(shù)和。利用這一知識點，將三角形三個外角全部由三角形三個內(nèi)角表示了，最后得出的結(jié)果是三個外角和恰好等于兩個三角形內(nèi)角和360°。如果三個外角至少有兩個外角的度數(shù)小于90°，則三個外角和將不再是360°。這樣的探究結(jié)果與事實相矛盾，于是，學(xué)生得出自己假設(shè)不成立，也就是原語句成立，很好地解決了這一數(shù)學(xué)問題。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用反證法解決數(shù)學(xué)問題，很好地開啟了學(xué)生的數(shù)學(xué)思路，提升了學(xué)生的解題正確率，并有效地提升了學(xué)生學(xué)習(xí)成就感，推動學(xué)生進(jìn)一步參與思考，有力地促進(jìn)學(xué)生內(nèi)在參與度的提升，引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的可持續(xù)發(fā)展和提升。

三、運(yùn)用反證法，推動學(xué)生有效發(fā)展

反證法是學(xué)生重要的學(xué)習(xí)方式之一，它的運(yùn)用能夠有效地鍛煉學(xué)生推理能力，開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)問題正向思考很難解決，如果逆向思考會顯得簡單一些。由此，教師在教學(xué)中可以有效地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用反證法思考數(shù)學(xué)問題，以充分激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維，促使學(xué)生有效發(fā)展。

例如：在教學(xué)“勾股定理”時，教師在課堂學(xué)習(xí)中為學(xué)生們設(shè)計了一道數(shù)學(xué)題：求證在一個三角形ABC中，如果角C不為90度，那么a2+b2≠c2。學(xué)生們在教師給出問題后都紛紛進(jìn)入思考中，很多學(xué)生發(fā)現(xiàn)直接證明很難得出最后的結(jié)果，于是，教師引導(dǎo)學(xué)生換思維思考問題，運(yùn)用反證法來思考這一問題。有學(xué)生提出假設(shè)：在一個三角形ABC中，如果角C的度數(shù)不是90°，那么a2+b2=c2。之后，學(xué)生開始根據(jù)題意開始思考分析，畫出一個相應(yīng)的三角形，并標(biāo)記好相對應(yīng)的字母符號，三邊分別為a、b、c，三邊所對應(yīng)的角分別是∠A、∠B、∠C。之后進(jìn)入思考中，在反向思考的過程中，學(xué)生也找到了思維的突破口，充分感受到這種逆向思考的優(yōu)勢，顯得這一數(shù)學(xué)問題更加簡便、易懂，解決起來更加簡單、準(zhǔn)確。

在這一教學(xué)案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用反證法解決數(shù)學(xué)問題，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單、形象化，讓學(xué)生更便于思考、學(xué)習(xí)，很好地促進(jìn)了學(xué)生深入思考與分析，對比與突破，在有效解決原有問題的基礎(chǔ)上提升了學(xué)習(xí)效率，突破了思維瓶頸，提升了學(xué)習(xí)能力。

總之，反證法是一種有效的解題方式之一，它使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維變得更加靈活，將復(fù)雜的知識變得有理可循，很好地開拓了學(xué)生的思維空間，讓學(xué)生能夠多角度思考、探究問題。在今后的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用反證法思考數(shù)學(xué)問題，以充分發(fā)展學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生高效發(fā)展。