例談中考題中的一元二次方程根與系數的關系

文季 偉

在中考中，韋達定理作為一元二次方程的重要考點，其考查的方式也是多種多樣的，但萬變不離其宗。現在就讓我們一起走進南京中考，看看近年來韋達定理在中考題中的風采。

一、已知兩根，求系數

例1 （2017·南京）已知關于x的方程x2+px+q=0的兩根為-3和-1，則p=__；q=______。

【解析】本題可以有兩種解法：第一種，將兩根的值直接帶入原方程，轉化為二元一次方程組進行求解；第二種，運用根與系數的關系，在本題中x1+x2=-p，x1·x2=q，直接賦值求解即可。

【答案】4，3。

【點評】知道一元二次方程的兩個根，我們可以有兩種方法去求方程的系數：一種是代入轉化為二元一次方程組，另一種是通過根與系數的關系進行求解。很明顯，第二種方法比起第一種方法更為高效。而這也顯示了學習根與系數的關系對于求方程的系數所帶來的高效性。

二、已知一個根與一個系數，求另一個根與另一個系數

例2 （2015·南京）已知方程x2+mx+3=0的一個根是1，則它的另一個根是_____，m的值是_____。

【解析】本題可以有兩種解法：第一種，將已知根的值直接帶入原方程，轉化為一元一次方程，先求m的值，再求另一個根的值；第二種，運用根與系數的關系，在本題中x1·x2=3，可以先求出另一個根的值，再通過x1+x2=-m，求出m的值。

【答案】3，-4。

例3 （2019·南京）已知2+ 3是關于x的方程x2-4x+m=0的一個根，則m=___。

【解析】本題可以有兩種解法：第一種，將根的值直接帶入原方程，轉化為一元一次方程進行求解；第二種，運用根與系數的關系，在本題中x1+x2=4，先求出另一根的值，再通過x1·x2=m，求出m的值。

【答案】1。

【點評】已知一元二次方程的一個根與一個系數，要求另一個根與系數，可以有兩種方法：第一種，通過代入一個根，先求出另一個系數，再對另一個根進行求解；第二種，通過根與系數的關系，先求出另一個根，再對另一個系數進行求解。當根的值較復雜時，如例3中根的值為2+ 3，直接代入會造成運算的復雜，運用根與系數的關系去求，在計算上會便捷很多。

三、已知兩根的關系式和一個系數，求另一個系數

例4 （2016·南京）設x1、x2是方程x2-4x+m=0的兩個根，且x1+x2-x1x2=1，則x1+x2=______，m=_____。

【解析】本題給出了兩根的關系式，但沒有明確給出兩根的值，仔細觀察關系式，發現直接運用根與系數的關系可以得出，x1+x2=4，x1·x2=m，代入關系式求解即可。

【答案】4，3。

【點評】題目中給出了兩根的關系式，表面上我們只有一個關系式，但實際上通過根與系數的關系，我們可以得到三個與兩根有關的關系式。通過將題目所給關系式轉化為根與系數的關系式進行求解，將未知化為已知，即可求出另一個系數的值。

四、已知兩根的關系式和一個系數，求兩根

例5 （2018·南京）設x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根，且x1+x2=1，則x1=______，x2=______。

【解析】本題給出了兩根關系式，通過觀察可直接運用根與系數的關系得m=x1+x2=1，再代入原方程，求出兩根。

【答案】3，-2。

【點評】題目中給出了兩根的關系式和一個系數，要直接求出兩個根有一定困難。但通過根與系數的關系，我們可以得出另一個系數的值，將方程完整地表達出來。最后通過解方程，求出方程的兩個根。

通過上述例題，我們可以看出，在解一元二次方程根與系數關系題目時，需注意以下兩點：

1.若題目中給出了根或系數，要求未知的根與系數，可以有多種方法，但運用一元二次方程根與系數的關系，可以使得求解過程更加簡單高效；

2.若題目中給出的是兩根的關系式，要求根或系數，則可從一元二次方程根與系數的關系式出發，將題目中的關系式轉化為我們所熟悉的關系式進行求解。