模塊復習固解法 內在聯系串題型

文諸士金

一元二次方程的復習一般可以分為基本概念、解法及相關知識（根與系數關系、根的判別式）、應用等主要模塊。我們通過這樣的模塊復習會感覺比較清晰，尋找知識的內在聯系應遵循知識的生長結構。下面和同學們以模塊復習的方式共同梳理一元二次方程的知識。

一、以小題組合梳理概念，利于知識記憶

同學們都知道，數學學習不能死記硬背，在一元二次方程的學習中并不是強行記住方程的概念、根的概念就等于掌握了知識。死記硬背數學概念不僅不利于對知識的理解，還會讓同學們感覺數學學習過于單調，容易失去對數學學習的興趣。因此我們在復習一元二次方程的概念時，建議大家以題為載體進行復習，避免知識的機械記憶。

例1 （1）一元二次方程（x+1）（x+3）=9的一般形式是_______，二次項系數為_______，常數項為_______。

（2）關于x的方程x2+mx+6=0的一個根為-2，則另一個根是________。

（3）請寫出一個關于x的一元二次方程________，使它的兩根分別為-2和3。

以上三組小題各有特色，第（1）小題是以具體的題來鞏固我們對一元二次方程一般形式的認識。對于這個認識的具體要求，我們切莫以為是簡單地記住ax2+bx+c=0（a≠0）即可，具體分解對這個概念的認識，就是要首先會將其他形式的方程變成這個“樣子”，這個同解變形也是所有方程解法的根本所在。我們借助同解變形，可以將一個不熟悉的“樣子”變成熟悉的“樣子”。需要說明的是，這樣的同解變形一般主要依據“等式性質”。故這個方程的一般形式是x2+4x-6=0，二次項系數為1，常數項為-6。

第（2）小題和第（3）小題是立足于一元二次方程根的概念進行的考查，這樣的小題既可以從根的概念的本質（即能使得方程成立的未知數的值）上去理解完成，也可以從后續解法學習中獲得的根與系數關系（韋達定理）來完成。第（2）小題的另一個根是-3，而第（3）小題兩個根為-2和3，那么其對應的方程可以為（x+2）（x-3）=0。

像這樣融基礎知識于小題，便于我們以題為舟，橫渡概念之河。

二、以內在聯系鞏固解法技能，強于題海盲渡

在一元二次方程復習中，具體的解法是復習的重點。我們往往是以大量的題目來鞏固新課學習的解題方法，做錯了就訂正，然后繼續做。茫茫題海，沒有方向。很多時候，同學們還是停留在教材梳理出的“直接開方法”“配方法”“求根公式法”“因式分解法”等表層認知上，認為這些方法都是獨立并存的，沒有深層次理解解法背后的聯系。這里我們簡單地梳理一下：

根據這個梳理，其實比較容易理解四種解法之間的關系，選擇優化解法時，就會有明確的方向。再輔以如例2的典型例題加以鞏固。

例2 解下列方程：

（1）x2+2x-8=0；

（2）x-2=2x-x2；

（3）（2x+1）（x-3）=3。

這三個小題，在方法選擇上要有側重，一般有兩個層次要求，一是要能夠正確解出，不管用什么方法；二是要能夠選擇較好的方法快速解出。這樣既是考查同學們計算技能的掌握情況，也有利于同學們培養思維的敏捷性。下面的解法和答案供參考：

（1）x2+2x-8=0。

解：（x+4）（x-2）=0。

∴x1=-4，x2=2。

（2）x-2=2x-x2

解：x-2=-x（x-2）。

x-2+x（x-2）=0。

（x-2）（1+x）=0。

∴x1=2，x2=-1。

（3）（2x+1）（x-3）=3。

解：2x2-5x-6=0。

a=2，b=-5，c=-6，

b2-4ac=73，

三、以綜合拓展多樣呈現，便于見多識廣

在解法和概念的復習過程中有兩個知識難點，一個是根的判別式，另一個是根與系數的關系（韋達定理）。我們從現有的知識學習體系中理解，這兩部分知識可以獨立地進行應用，但不可忽視這兩部分知識與一元二次方程本身解法的內在聯系。根的判別式緣起配方法的過程，當然這里對根的判別目前是在實數范圍內，到了高中階段會出現虛根的情況。而韋達定理可以從求根公式來推得，這樣同學們就可以自己進行推演。這兩個知識點的考查，可以以小綜合形式多樣呈現，避免單獨考查帶來與實際考試題型的脫節。

例3 已知關于x的一元二次方程x2-（k+1）x+2k-2=0。

（1）求證：方程有兩個實數根；

（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數根，第三邊BC的長為3，當△ABC是等腰三角形時，求k的值。

（1）證明：

∵Δ=［-（k+1）］2-4（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，

∴方程有兩個實數根。

（2）解：x2-（k+1）x+2k-2=0，

（x-2）（x-k+1）=0，

解得x1=2，x2=k-1，

當k-1=3時，△ABC是等腰三角形，則k=4；

當k-1=2時，△ABC是等腰三角形，則k=3，

所以k的值為4或3。

例3考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式Δ=b2-4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數根；當Δ=0，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0，方程沒有實數根。其第（2）小問融入了三角形三邊關系、等腰三角形知識，逐步加強對k的條件限制，以確定k的取值。

例4 已知關于x的方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數根x1、x2。

（1）求實數m的取值范圍；

（2）若x1-x2=2，求實數m的值。

例4的呈現從有兩個不相等的實數根開始，確定b2-4ac＞0，得到m的范圍，再結合x1-x2=2，根據根與系數關系，求m的值。

解：（1）由題意得：Δ=（-2）2-4×1×m=4-4m＞0，

解得：m＜1，

即實數m的取值范圍是m＜1。

（2）由根與系數的關系得：x1+x2=2，

又x1-x2=2，

解得：x1=2，x2=0，

由根與系數的關系得：m=2×0=0。

這里我們主要是從模塊復習的角度梳理了一元二次方程的基礎知識和基本技能的考查類型，還不夠全面，僅供同學們復習參考。我們在后續的學習過程中要認識到，很多時候技能方法不是孤立的，高次方程的降次思想、多元方程的消元思想是一以貫之的，是所有模塊知識的內在“血脈”。