加強模型理解 提升解題能力

文楊春霞

從數學內部來看，由一元一次方程到一元二次方程是知識發展過程中必然要出現的代數式關系；從數學外部來看，一元二次方程是刻畫現實世界，解決實際問題的有效模型。近年來，各地中考圍繞這一核心知識點呈現多種考題形式，下面就從“方程概念”“計算技能”“模型應用”三個方面作簡要分析。

一、立足“方程概念”，考查知識理解

一般常考題會借助對一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的認識，考查對“樣子+條件”定義形式的本質理解。這樣的理解也不是獨立考查，往往還和方程的根、根與系數關系、根的情況判別相結合。

例1（1）（2016·泰州）方程2x-4=0的解也是關于x的方程x2+mx+2=0的一個解，則m的值為_______。

（2）（2016·聊城）如果關于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍是_______。

第（1）小題借助一元一次方程的解來求一元二次方程中的未知系數m的值，考查了方程解的概念，即方程的解代入方程能使得方程等式成立，故易得m的值為-3。第（2）小題以方程根的情況來考查未知系數k的取值范圍，一方面要理解根的情況由“兩個不相等的實數根”得到b2-4ac＞0，繼而得到在這個不等式下k的第一個取值范圍k＞；另一方面要兼顧到一元二次方程中二次項系數k的條件限制，即k≠0。綜合來看k的取值范圍為k＞且k≠0。

二、關注“計算技能”，考查運算能力

求一元二次方程的解體現著運算能力的水平，這是解決實際問題的需要，其解法也關聯到二次函數等相關知識。因此對計算技能方面的考查，一般有獨立考查解方程以及方程解法，或是結合應用模型解決問題進行考查。

例2（1）（2016·新疆改編）一元二次方程x2-6x-5=0配方可變形為________。

（2）（2014·聊城改編）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可變形為_______。

這兩道題原題出自不同地區，但都以選擇題形式考查一元二次方程解法中的配方法，凸顯了配方法在知識系統中的重要作用。這里改編為填空題，去掉干擾選擇支，直接考查配方法的關鍵步驟。第（1）題給的是具體數值，因此較為容易地得到變形后為（x-3）2=14；第（2）題是一元二次方程的一般形式，一般化地體現對配方法的本質理解，字母系數參與運算，增加了運算難度，但只要按照配方法步驟，依然可以得

例3 （1）（2013·河南）方程（x-2）（x+3）=0的解是（ ）。

A.x=2 B.x=-3

C.x1=-2，x2=3 D.x1=2，x2=-3

（2）（2016·蘭州）解方程：2y2+4y=y+2。

例3的兩題重在對解法和求解過程的考查。第（1）題體現分解因式求一元二次方程解的關鍵形式，即要形成ab=0的結構，故選D；第（2）題單獨考查一元二次方程的解法，由于所給形式非一般形式的結構，所以我們要先進行轉化，變成一般形式，再根據方程的特點，恰當選擇方法。具體解題過程如下：

解：2y2+4y=y+2，

2y2+3y-2=0，

（2y-1）（y+2）=0，

2y-1=0或y+2=0，

三、重視“模型應用”，考查問題解決

方程的價值體現在對外部世界的認識上，也就是建構模型。因此多年來，建立一元二次方程模型考查問題已經是常規題型，但因為涉及實際問題內容較廣，一般會結合具體背景考查，如：“行程”“工程”“增長率”“銷售”等。也因其模型和函數模型建立的內在聯系是一致的，即尋找相等的數量關系，因此也可以結合二次函數的應用滲透對方程模型應用的考查。

例4 （2019·徐州）如圖，有一塊矩形硬紙板，長30cm，寬20cm，在其四角各剪去一個同樣的正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一個無蓋長方體盒子。當剪去正方形的邊長取何值時，所得長方體盒子的底面積為200cm2？

本題需要我們理解長方體的底面長、寬與正方形邊長之間的一次關系，以及底面積與長和寬之間的關系，進而認識到所有模型均可歸一為“a+b”型、“a×b”型以及在此基礎上的模型嵌套，從而感受到數式模型、數式關系模型是刻畫現實世界的有效模型。解答如下：

解：設剪去小正方形的邊長為xcm，

則根據題意，有（30-2x）·（20-2x）=200。

解得x1=5，x2=20。

當x=20時，20-2x＜0，所以x=5。

答：當剪去正方形的邊長為5cm時，所得長方體盒子的底面積為200cm2。