統計中的一朵“玫瑰花”
——分層抽樣

■張祎冰

在樣本抽樣時,將總體按其屬性特征分成若干類型(也稱為層),然后在每個類型中按照所占比例隨機抽取一定的樣本,這種抽樣方法叫分層抽樣,也叫類型抽樣。分層抽樣的適用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層抽樣。若樣本容量為n,總體的個體數為N,則每個個體被抽到的可能性都是

一、分層抽樣的判斷

例1(1)某地區為了解居民家庭生活狀況,先把居民按所在行業分為幾類,然后每個行業抽的居民家庭進行調查,這種抽樣方法是

(2)分層抽樣又稱類型抽樣,即將相似的個體歸入一類(層),然后每類抽取若干個個體構成樣本,所以分層抽樣為保證每個個體等可能抽樣,必須進行( )。

A.每層等可能抽樣

B.每層可以不等可能抽樣

C.所有層按同一抽樣比等可能抽樣

D.所有層抽取個體數量相同

解：(1)由于居民按行業可分為不同的幾類,符合分層抽樣的特點,所以這種抽樣方法是分層抽樣。

(2)保證每個個體等可能地被抽取是三種基本抽樣方法的共同特征,為了保證這一點,分層抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽取。應選C。

評析：分層抽樣的適用條件是總體可以分層,層與層之間有明顯區別,而層內個體間的差異較小。

二、求總體容量

例2交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規的知曉情況,對甲,乙,丙,丁四個社區進行分層抽樣調查。假設四個社區駕駛員的總人數為N,其中甲社區有駕駛員96人。若在甲,乙,丙,丁四個社區抽取駕駛員的人數分別為12,21,25,43,則這四個社區駕駛員的總人數N為

解：由題意可知,甲社區駕駛員的抽樣比為四個社區駕駛員總人數的抽樣比為由分層抽樣可得解得N=808。

評析：對于分層抽樣,總體容量等于各層容量之和。解題時要注意區分樣本容量與總體容量。

三、求樣本容量

例3某工廠甲,乙,丙三個車間生產了同一種產品,其產品數量分別為120件,80件,60件。為了解它們的產品質量是否存在顯著差異,用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查,其中從丙車間的產品中抽取了3件,則

解：由分層抽樣的特征,可得解得n=13。

評析：理解分層抽樣的抽樣比是解答本題的關鍵。

四、求每層應抽取的個體數

例4某單位最近組織了一次健身活動,活動分為登山組和游泳組,且每個職工至多參加其中一組。在參加活動的職工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%,登山組的職工占參加活動總人數的且該組中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%。為了解各組不同的年齡層的職工對本次活動的滿意程度,現用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取容量為200的樣本。

試求：(1)游泳組中,青年人,中年人,老年人分別所占的比例。

(2)游泳組中,青年人,中年人,老年人分別應抽取的人數。

解：(1)設登山組人數為x,設游泳組中,青年人,中年人,老年人各占比例分別為a,b,c,則由題意可得由此解得b=50%,c=10%。所以a=1-50%-10%=40%。故游泳組中,青年人,中年人,老年人所占的比例分別為40%,50%,10%。

評析：在分層抽樣中,若各層個體數之比為m1∶m2∶…∶mk,樣本容量為n,則每層抽取的個體數為(i=1,2,…,k)。

五、分層抽樣的實際應用

例5一個單位有職工500人,其中不到35歲的有125人,35歲至49歲的有280人,50歲及50歲以上的有95人。為了解這個單位職工與身體狀態有關的某項指標,要從中抽取100名職工作為樣本,職工年齡與這項指標有關,應該怎樣抽取?

解：用分層抽樣法抽取樣本,步驟如下。

①分層,按年齡將500名職工分成三層,即不到35歲的職工,35歲至49歲的職工,50歲及50歲以上的職工。②確定每層抽取的個體數,各層分別按簡單隨機抽樣法抽取樣本。抽樣比為,則在不到35歲的職工中抽取125×=25(人),在35歲至49歲的職工中抽取280×=56(人),在50歲及50歲以上的職工中抽取95×=19(人)。③匯總每層抽樣,組成容量為100的樣本。

評析：分層抽樣的步驟：①計算樣本容量與總體個數之比。②將總體分成互不交叉的層,按比例確定各層要抽取的個體數。③用簡單隨機抽樣或系統抽樣在各層中抽取相應數量的個體。④將各層抽取的個體合在一起,就得所需樣本。

為了評估某學校的教學水平,將抽取這個學校高三年級的部分學生本學年的考試成績進行考察。為全面反映實際情況,采取以下三種方式進行抽查(已知該學校高三年級共有20個班,并且每個班內的學生按隨機方式編好了學號,假定該校每班學生人數都相同)：①從全年級20個班中任意抽取一個班,再從該班任意抽取20人,考察他們的學習成績;②每個班都抽取1人,共計20人,考察這20個學生的學習成績;③把學生按成績分成優秀,良好,普通三個級別,從中共抽取100名學生進行考察(若按成績分,該校高三學生中優秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人)。

(1)上面三種抽取方式中,其總體,個體,樣本分別指什么?按每一種抽取方式抽取的樣本中,其樣本容量分別是多少?

(2)上面三種抽取方式中,各采用何種抽樣方法?

提示：(1)上面三種抽取方式中,其總體都是高三全體學生本學年的考試成績,個體都是指高三年級每個學生本學年的考試成績。第一種抽取方式中,樣本為所抽取的20名學生本學年的考試成績,樣本容量為20。第二種抽取方式中,樣本為所抽取的20名學生本學年的考試成績,樣本容量為20。第三種抽取方式中,樣本為所抽取的100名學生本學年的考試成績,樣本容量為100。

(2)第一種抽取方式采用的是簡單隨機抽樣法,第二種抽取方式采用的是系統抽樣法和簡單隨機抽樣法,第三種抽取方式采用的是分層抽樣法和簡單隨機抽樣法。