“二次函數”之圖像平移

文莊 嚴

（作者單位：江蘇省南京市文樞初級中學）

學習了“二次函數”之后，同學們對二次函數的定義、圖像、性質都有了一定的了解，并能解決一些實際問題。回顧“二次函數”整章的探究過程，再類比“一次函數”“反比例函數”，我們不難看出，“二次函數”整章采用的是從特殊到一般的探究模式，即先研究最特殊、最簡單的二次函數y=x2的圖像和性質，然后通過上、下、左、右平移的方法，繼續研究較復雜的二次函數的圖像和性質，因此“平移”就成為研究本章內容最重要的方法之一。針對“二次函數”中的“平移”類問題，我們結合課本例題進行整理、歸納、變式，希望可以幫助同學們解決此類問題。

一、抓“平移變換”基本要素，研“形到數”的變化規律

例1（蘇科版《數學》教材九年級下冊“5.2二次函數的圖像和性質”習題第9題）怎樣平移函數y=-x2的圖像，可以得到函數y=-x2-8x-7的圖像？

【分析】“平移變換”是圖形基本變換中的一種情況，具備兩個要素，即平移的方向和距離。函數的研究離不開圖像，圖像也是一種圖形，所以平移的兩個要素是解決圖像平移的關鍵。任何圖形的變換都是關鍵點的變換，抓住二次函數圖像的關鍵點——頂點的平移就是解決此類問題的突破口。函數y=-x2的圖像的頂點坐標是（0，0），函數y=-x2-8x-7圖像的頂點坐標是（-4，9）。圖像如何平移本質上就是兩個頂點通過怎樣的平移相互轉換，即點（0，0）通過怎樣的平移變為（-4，9）。

解：y=-x2-8x-7=-（x+4）2+9，將函數y=-x2的圖像向左平移4個單位長度，再向上平移9個單位長度，得到函數y=-x2-8x-7的圖像。

【點評】在“平移變換”中，我們可以積累經驗，同時也可以總結出“上正下負，左正右負”的經驗。比較變換前后的兩個函數表達式y=-x2和y=-（x+4）2+9的形式，發現x后多了+4，等號右邊整體多了+9，根據經驗，也可以迎刃而解。

二、抓“平移變換”互逆性，探“形到數”的雙向功能

例2（蘇科版《數學》教材九年級下冊第37頁探索研究第14題）把二次函數y=x2+bx+c的圖像沿y軸向下平移1個單位長度，再沿x軸向左平移5個單位長度后，所得的拋物線的頂點坐標為（-2，0）。寫出原拋物線相應的函數表達式。

【分析】平移前的坐標未知，平移后的坐標已知，我們可以根據變換的互逆性，從平移后所得的拋物線的頂點坐標（-2，0）出發，將提供的變換方式倒推，即“沿y軸向下平移1個單位長度，再沿x軸向左平移5個單位長度”，改為“沿y軸向上平移1個單位長度，再沿x軸向右平移5個單位長度”，這樣就可以得到圖像平移前的頂點坐標（3，1），從而寫出原拋物線相應的函數表達式。

解：y=（x-3）2+1。

【點評】從形的變換總結出式的變化規律，即設y=（x+5）2+b（x+5）+c-1=x2+（b+10）x+5b+c+24，根據拋物線的頂點坐標為（-2，0），解得b=-6，c=10。

三、抓“平移變換”本質特點，解“形到數”的思想方法

例3 （2014·南京）已知二次函數y=x2-2mx+m2+3（m是常數）。

（1）求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸沒有公共點；

（2）把該函數的圖像沿y軸向下平移多少個單位長度后，得到的函數的圖像與x軸只有一個公共點？

【分析】就此題第（2）問分析如下：函數的圖像與x軸只有一個公共點的理解有兩個角度：一個角度是借助y=0時，所對應的一元二次方程有兩個相等的實數根，但是因為平移的距離未知，原二次函數表達式也未知，所以解決起來有困難；另一個角度，所謂函數的圖像與x軸只有一個公共點也可以理解為函數圖像的頂點在x軸上，這樣從頂點坐標入手，就能很順利地解決問題了。

解：y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3。把函數y=（x-m）2+3的圖像沿y軸向下平移3個單位長度后，得到函數y=（x-m）2的圖像，它的頂點坐標是（m，0），因此，這個函數的圖像與x軸只有一個公共點。

所以，把函數y=x2-2mx+m2+3的圖像沿y軸向下平移3個單位長度后，得到的函數的圖像與x軸只有一個公共點。