感悟數學思想 探索解題方法 建立數學模型
——植樹問題教學反思

甘肅省合水縣西華池小學 湯潤會

問題：“同學們在全長100 米的小路一邊植樹，每隔5 米栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？” 這是人教版小學數學五年級上冊數學廣角——植樹問題中的例題1。植樹問題一般是指沿著一定的路線植樹，路線可能是直的線段,也可能是封閉的曲線。一般來說，問題中的植樹路線的總長度被平均分成若干段（間隔），根據路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數（間隔數）和植樹的棵數之間的關系也有變化，解題方法就不同。在現實生活中，這一類型的題目還有很多種，如在公路兩旁安裝路燈、給花壇四周擺花、把一段木頭鋸成若干段、公交站臺設立站口、敲鐘、上下樓梯等。總的來說，要正確解決此類問題，必須理清題目中“植樹棵數和間隔數(段數)之間的數量關系”這一關鍵點,也就是植樹的要求。由于實際生活中這類問題很多，因此，掌握植樹問題的數學模型至關重要。而例題1 是解決這類問題的基礎，只有把例題1 中所蘊含的數學思想和構建的數學模型理解透徹，學生才能對實際生活中其他類型的植樹問題迎刃而解。教學例題1 時，我是這樣做的：

一、問題導入，激發猜想

教學時先讓學生根據例題1 中的數學信息，思考后說出答案。基于以前所學的數學知識，看到題目，后多數學生不假思索地說出算式：100÷5=20（棵）。造成這樣解答的原因是題目中有“每隔5 米栽一棵”這一條件，學生想到了列除法算式中的“包含除”這一方法。100 米的小路里有20 個5 米的間隔，所以學生想到這一計算方法，即栽樹的棵數等于間隔數。這時我對學生的答案不急于判定其正確與否，而是適時強調“兩端都要栽”這一條件，引發了學生思維的沖突，激起了學生強烈的探究欲望。

反思：英國著名哲學家培根說過：“數學是思維的體操。”由此可見，思維能力的培養在數學教學中的重要性。“兩端都要栽”這一條件一石激起千層浪，使學生迫切需要借助數學素材進行思維活動，極大地引發了學生思維的積極性。

二、化繁為簡，探究規律

為了檢驗“100÷5=20（棵）”這一結果正確與否，我讓學生畫線段圖進行分析。由于100 米太長，就讓學生先畫20 米、25 米的情況，并從中發現它們共同的規律：栽樹的棵數比間隔數多1。接下來讓學生運用所發現的規律猜想30 米和35 米的情況，并通過畫線段圖加以驗證，經過驗證得出“栽樹的棵數比間隔數多1”這一結論是正確的。最后用這一結論推測大數據100 米的情況，學生知道100 米的小路，每隔5 米栽一棵，共有20 個間隔，兩端都要栽，栽的棵數比間隔數多1，所以一共要栽21 棵。

反思：化繁為簡是一般化的數學思想方法，也稱為化歸思想，它是數學教學中經常采用的方法之一，具有解決問題的普遍意義。化歸思想也叫轉化法，簡而言之，它是指人們在面對數學問題時，如果應用已積累的知識不能解決該問題或解決該問題時遇到“瓶頸”，這時就得把要解決的問題轉化成能夠解決或比較容易解決的問題。例如在教學小學數學人教版五年級上冊第六單元多邊形的面積時，要經常用到這一方法。化歸思想的本質是化復雜為簡單，化未知為已知，化抽象為具體，它是分析解決各種復雜問題的基本策略和思想方法。

三、肢體比劃，突破難點

通過畫線段圖進行分析，化抽象為具體，得出結論：“兩端都要栽，棵數比間隔數多1。” 這時還有一部分學生對這一數學模型理解得不透徹，我又順勢讓學生張開一只手觀察，并提問：“5 根手指每相鄰兩根之間有1 個間隔，一共有幾個間隔？” 顯而易見，學生發現，5 根手指之間有4 個間隔，而每一根手指相當于一棵樹，這時學生又把手指與栽的樹對應起來，進一步加深了對植樹問題中兩端都要栽解題策略的理解,還幫助學生建立了植樹問題的數學模型。

反思：數學語言有很多種，肢體語言也是其中的一類。課堂上合理運用肢體語言，可以便捷傳遞數學信息，使得抽象的數學知識變得更加形象直觀，有利于加深學生對數學知識的理解，發展學生的思維能力。

四、合作交流，遷移轉化

如前所述，植樹問題中“植樹”的路線一般包括兩種情況：一是線段型，二是封閉曲線型，如圓形或橢圓形。即使是一條線段上的植樹問題類型也很多，一般有三種情形：一是兩端都要栽；二是一端栽另一端不栽；三是兩端都不栽。而每種情形都可以衍生出許多與實際生活相關的植樹問題，所以植樹問題也是小學數學教材數學廣角板塊中的難點與熱點。有了關于例題1 的解題思路，為了進一步加深學生的理解和掌握，我又及時提出了如下問題：“同學們在全長100 米的小路一邊栽樹，每隔5 米栽一棵,一端栽，一端不栽，一共要栽多少棵？如果兩端都不栽呢？” 這時我采用了分層教學,學生可以畫線段圖分析，也可以進行推理,還可以小組合作交流討論。學生很快得出結論：兩端都要栽應該栽21 棵，一端栽一端不栽應該栽20 棵，兩端都不栽要栽19 棵。

反思：通過小組合作，調動了學生學習的積極性，尤其使學困生學會了如何學習，改進了學習方法，更有利于培養學生獨立思考的能力，充分發揮了合作學習的優勢，提高了課堂教學的效率。通過知識的遷移，激發了學生學習的興趣，開拓了學生的思維，培養了學生的創新意識，達到了觸類旁通、舉一反三的效果。

五、歸納概括，建立模型

有了例題1 的補充練習，適時讓學生總結關于植樹問題最基本的題型，一條線段上三種情況的解題策略：兩端都栽，棵數=間隔數（段數）＋1；一端栽一端不栽，棵數=間隔數（段數）；兩端都不栽，棵數=間隔數（段數）－1 。

反思：數學廣角欄目的編排目的是通過現實生活中一些常見的實際問題，讓學生體會一些解決問題的策略和方法，明確數學知識來源于生活又應用于生活。植樹問題就是對新課標中這一理念的最好詮釋，通過總結這三個策略，為學生分析解決植樹問題提供了思想方法。

總之，在植樹問題的教學中，學生經歷了找出題目中的數學信息，通過分析思考，利用已有的知識儲備，對要解決的問題答案進行猜測，接著把題中的大數據轉化成了小數據，進行畫線段圖驗證、分析推理，得出一般性的方法和結論，最后在小組合作交流等探究活動的基礎上，歸納總結出了植樹問題的解題策略，建立了數學模型。通過諸多的數學活動，使他們既學會了一些解決問題的一般方法，又形成了嚴謹的數學思維方式，同時也使學生初步認識到轉化思想是解決問題的基本策略。