三角函數最值的求解類型及策略

■龔 兵

三角函數的最值是研究三角函數的重要手段之一，這部分知識是近幾年高考的熱點，為了使同學們更好地掌握這部分知識，現就其常見的求解類型及求法進行分析。

一、形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型

策略：通過降冪轉化為y=Asin2x+Bcos2x+C型，再轉化為y=+C型求解。

例1求函數y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值、最大值以及取最小值、最大值時x的取值集合。

解：由降冪公式可得函數當-1，即x的取值集合為時，y取最小值當=1，即x的取值集合為時，y取最大值

二、形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型

策略：令sinx=t或cosx=t，將原函數轉化為y=at2+bt+c型求解。

例2求函數y=cos2x-3sinx+2的最值。

解：函數y=（1-sin2x）-3sinx+2=-sin2x-3sinx+3。令t=sinx，則原函數可轉化為y=-t2-3t+3=-所以函數y=-t2-3t+3在t∈ [-1，1]上單調遞減。故當t=-1，即sinx=-1，x=2kπ時，原函數取最大值5；當t=1，即sinx=1，x=2kπ時，原函數取最小值-1。

三、 形 如y =或型

策略：將原函數分離出一個常系數或將原函數反解求出cosx或sinx，再利用或來求解。

例3求函數的最大值和最小值。

解法1：將原函數分離常系數可得y=由-1≤cosx≤1，可得1≤2-cosx≤3，從而所以即原函數的最大值和最小值分別為3和

解法2：由解得cosx=因為所以可得3y2-10y+3≤0，解得≤y≤3。故原函數的最大值和最小值分別為3和

編者注：通過適當的三角變換，結合化歸與轉化、函數與方程思想是解決三角函數最值問題的有效方法。也可以通過消元、換元，轉化成非三角函數的最值來求解。