分式方程有增根與無解的關系辨析

湖北省黃岡思源實驗學校 蔡艷生

分式方程有增根與無解是分式方程中常見的兩個概念，也是一些地區中考、自主招生考試中常見的考點。學生在學習分式方程后，常常對分式方程有增根與無解這兩個概念混淆不清，認為這兩者是同一回事，事實上并非如此。因此，幫助學生厘清分式方程有增根與無解這兩者之間的關系十分有必要.

分式方程有增根，指的是解分式方程時，在把分式方程化為整式方程的過程中，方程的兩邊都乘了一個使最簡公分母為零的整式，從而擴大了未知數的取值范圍而產生的未知數的值，即分式方程的增根必須滿足兩個條件：（1）增根使最簡公分母為零；（2）增根是分式方程化成整式方程的根。而分式方程無解包含兩種情況：（1）分式方程化成整式方程后，整式方程無解；（2）分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但均為原分式方程的增根。因此，解分式方程最后必須要驗根。舉例說明如下：

例1：【涼山州中考題】關于x的方程無解，則m的值為（ ）

A.-5 B.-8 C.-2 D.5

解：方程兩邊都乘以最簡公分母（x+1），

得：3x-2=2(x+1)+m，解得：x=m+4。

∵該整式方程有解，而原分式方程無解，

∴x=m+4必定是原分式方程的增根，

即x+4=-1，∴m=-5。故本題答案為A。

【探究1】若將例1中的“無解”改為“有增根”，例1的答案并不發生改變。

【辨析】例1和探究1的答案相同，是因為該分式方程化為整式（一元一次）方程后，整式方程未知數不含字母系數，有唯一解。

A-1.5. B.1 C.-1.5或2 D.-0.5或-1.5

解：方程兩邊都乘以最簡公分母（x-3）x，

得：（2m+x）x-（x-3）x=2（x-3），

整理得：（2m+1）x=-6。

①當（2m+1）=0，即m=-0.5時，整式方程（2m+1）x=-6無解，則原分式方程無解；

②當（2m+1）≠0時，整式方程的解為要使原分式

方程無解，則x=3或x=0。

綜上所述：m=-0.5或m=-1.5,故本題答案為D。

【探究2】若將例2中的“無解”改為“有增根”，從例2的解答過程可知①不符合本題要求，最后只能取，答案就是A。

【辨析】例2和探究2的答案不同，是因為該分式方程化為整式（一元一次）方程后，整式方程的未知數含有字母系數（2m+1），對（2m+1）是否為零需要分類討論，因此會產生兩種不同情況。

A.1或-3 B.1 C.0或4 D.4

【錯解】解：方程兩邊都乘以最簡公分母（x-1）（x+3），

得：x（x+3）-（x-1）（x+3）=m，

整理得：x+3=m，解得：x=m-3。

∵ 分式方程有增根，

∴（x-1）（x+3）=0，

解得：x=1或x=-3，

當m-3=1時，得m=4，

當m-3=-3時，得m=0，

綜上所述：m的值為0或4，故選C選項。

【正解】其實，只需要把以上錯解中的m=4，m=0代入原分式方程檢驗，就會發現：

當m=4時，原分式方程可化為x（x+3）-（x-1）（x+3）=4。

整理得：x=1，經檢驗x=1是原分式方程的增根；

當m=0時，原分式方程可化為

去分母、整理得1=0，顯然不成立。因此，當m=0時，原分式方程無解，并沒有使其產生增根。故而，本題正確答案為D。

【辨析】學生在解答本題過程中，極容易出現以上錯解情況，為有效避免錯誤的出現，解分式方程最后一定要驗根。

弄清楚分式方程有增根和無解的區別和聯系，厘清這兩者之間的關系，能幫助學生提高解分式方程的正確性，對正確判斷分式方程的解的情況有重要的指導意義。