如何學好二次函數(shù)

甘肅省金昌市第三中學 金歡歡

《二次函數(shù)》是人教版九年級數(shù)學在中考時必考的重點章節(jié)，是同學們感到難學的內(nèi)容之一。它里面有如下幾個學習目標：①學會求函數(shù)的解析式；②學會作二次函數(shù)的圖像；③學會描述二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)；④會平移二次的圖像；⑤會把函數(shù)解析式的一般式化成頂點式。為了能使同學們學好二次函數(shù)，會利用好二次函數(shù)的性質(zhì)，本文從以下幾方面討論如何學好二次函數(shù)。

一、如何深刻理解二次函數(shù)的定義

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c是常數(shù))中有兩個變量：x,y，如果先確定了其中的一個變量，就可以利用函數(shù)解析式求出另外一個變量，然后就可以得到一組方程解，這樣的一組解就對應了函數(shù)圖像上的一個點的坐標，其實二次函數(shù)的圖像就是由這樣的無數(shù)個點組成的。

二、如何深入了解幾個特殊的二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

1.通過描點，觀察函數(shù)y=ax2、y=ax2+k、y=a(x+h)2圖像的形狀及其位置，熟悉這些圖像的最基本、最明顯的特征。

2.理解函數(shù)圖像的平移規(guī)則，有一個口訣是“括號內(nèi)左加右減，括號外上加下減”，即y=ax2→y=a(x+h)2+k，“括號外上加下減”是對于k所說的，“括號內(nèi)左加右減”是對于h所說的。

根據(jù)以上內(nèi)容可知，如果有兩個不同的二次函數(shù)，若二次項系數(shù)正負號相同，則它們的圖像開口方向就是相同的。拋物線的平移實質(zhì)上就是頂點的平移。如果拋物線是一般形式，則應先化為頂點式，然后再平移。平移時要看是在括號內(nèi)的加減平移，還是在括號外的加減平移。

3.通過描點、連線畫圖、圖像平移，能夠理解二次函數(shù)解析式的特征與圖像的特征是完全一致，我們在解題時要抓住圖像的特征，能夠通過圖像看到函數(shù)解析式的基本特征和一些關鍵數(shù)據(jù)，能夠看到函數(shù)就能想象出它的圖像的一些特征，這才是數(shù)學中數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)含義。

4.在熟悉了二次函數(shù)的圖像之后，我們還要通過觀察、分析拋物線的基本特征來理解二次函數(shù)的最值、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)；利用圖像來確定函數(shù)解析式中的a,b,c以及由系數(shù)所組成的代數(shù)式的符號等。在遇到一些問題時，我們可以使用特殊值法判斷函數(shù)解析式的通性，分析這一類函數(shù)的圖像特征。

三、學好二次函數(shù)，要重視“頂點”的作用

1.通過公式法或者配方法能很準確地求出二次函數(shù)圖像的“頂點”。如函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖像頂點是(-h,k)，對于其他形式的二次函數(shù)解析式，我們可將其轉(zhuǎn)化為頂點式，然后再求出頂點。

2.要深刻理解函數(shù)圖像的頂點、對稱軸以及函數(shù)的最大（最小）值這三者之間的關系。如果二次函數(shù)圖像的頂點為(-h,k)，那么二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=-h，函數(shù)的最值y最大（最小）=k；相反，如果二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=m，y最大（最小）=n，那么二次函數(shù)圖像的頂點為(m,n)。理解三者之間的本質(zhì)關系，在分析和解決問題時，就可達到事倍功半的效果。不過這里求函數(shù)的最值時有些時候要考慮自變量的取值范圍，這也是學習二次函數(shù)的一個難點。

3.利用二次函數(shù)的頂點、對稱性等特殊已知條件畫出拋物線的草圖。在眾多情況下，我們可以根據(jù)拋物線的頂點，結(jié)合開口向上還是開口向下，畫出拋物線的即草圖，這樣能幫助我們更容易地分析和解決問題。

四、如何理解二次函數(shù)所對應方程的解的問題

一般來說，我們在求二次函數(shù)的圖像與坐標軸的交點時，可先確定坐標中的其中一個量，再利用解析式求出坐標中的另外一個量。如果方程無實數(shù)根，那么說明拋物線與x軸無交點。

求二次函數(shù)圖像與坐標軸x軸的交點問題其實就是求拋物線所對應的方程的解。結(jié)合求解方程的根的方法，利用判別式的值來確定拋物線與x軸到底有幾個交點。

五、如何求二次函數(shù)的解析式

求二次函數(shù)的解析式，我們常用的方法就是待定系數(shù)法，求解析式時可以選擇不同的解析式。假設已知三個點的坐標，就可將函數(shù)解析式選擇為一般式；假設已知函數(shù)圖像的頂點和任意一個坐標，就可將函數(shù)關系式設為頂點式；如果已知函數(shù)圖像與x軸的兩個交點，我們可以設函數(shù)解析式為交點式。在計算過程中可以綜合利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想綜合計算分析，這樣對于我們的計算是可以簡化的。

例1：在平面直角坐標系內(nèi)，二次函數(shù)圖像的頂點為A（1，-4），并且過點B（3，0）。

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）將該二次函數(shù)的圖像向右平移幾個單位，可使平移后所得圖像經(jīng)過坐標原點？直接寫出平移后所得圖像與坐標軸的另一個交點坐標。

解：（1）由題意設y=a(x-1)2-4，將B（3，0）代入得a=1，故y=(x-1)2-4。

（2）設圖像向右平移m(m＞0)個單位，圖像正好經(jīng)過原點，則解析式為y=(x-1-m)2-4，因為經(jīng)過原點，故將（0,0）代入解析式得m=1，此時函數(shù)的解析式為y=(x-2)2-4，與坐標軸的另一個交點為（4,0）。

例2：某公司經(jīng)銷一種文具，每個文具成本為50元。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時間內(nèi)，銷售量W（件）隨銷售單價x（元）的變化而變化，具體關系式為；W=-2x+240。設這種文具在這段時間內(nèi)的銷售利潤為y（元），回答下列問題：（1）求y與x的關系式；（2）當x取何值時，y的值最大？

解：（1）y=(x-50)W=(x-50)(-2x+240)=-2x2+340x-12000。

（2）y=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450，

∴當x=85時，y的值最大，y最大為2450。

總之，二次函數(shù)在初中數(shù)學的學習中是非常重要的，以上是我在二次函數(shù)教學中的一些體會，我認為在二次函數(shù)的教學中，教師應以學生為主體，多與學生交流，課后多輔導學生作業(yè)，幫助學生提高學習成績。