高中數學不等式的解法分析

湖北省黃岡市團風中學 張文華

在不等式部分的教學過程中，我們數學教師應讓學生加強自身邏輯思維能力和獨立思考能力的培養。因此，對高中數學中不等式的解法進行分析是一項非常重要的工作。

一、高中數學函數問題中不等式的解答分析

在高中數學函數問題中，兩個不同變量之間的大小關系都可以用不等式來表示，這樣函數問題中未知量與變量之間的大小關系都可以非常清晰地表示出來。在一次函數中，給出自變量的取值范圍，通過不等式的性質以及函數的具體表達式就可以求出因變量的取值范圍，同理，給出因變量的取值范圍，就可以求出自變量的取值范圍。在二次函數甚至三次函數中，雖然求解過程的復雜性會在一定程度上有所增加，但是從本質上來看，二次函數中的不等式問題與一次函數中的不等式問題是相同的。高中教師在進行高中數學函數問題中不等式的教學過程中，應該盡可能地培養學生解決問題時的發散性思維，引導學生掌握這一類題型的解決方法，即充分挖掘題目中已經給出的條件并分析，然后根據函數的具體表達式以及具有的性質進行解題，在這個過程中，教師必須要引導學生尋找題目中的隱含條件，掌握題目已知條件與最終求解答案之間的具體關系。

例如，對于函數f(x)=-bx2+ax，已知常數a＞0，且當b＞0，x 的取值范圍為實數域時，f(x)≤1。證明：。高中數學教師為學生講解這道題目時，可以先和學生一起對題目進行分析，然后再讓學生寫出具體的求解過程。分析過程如下：從題目中的已知條件知，a＞0，b＞0，當x 為任意實數時，函數值大于1，因此，可以將代入函數的表達式中，此時函數值大于1，根據得到的具體表達式對不等式進行求解，就可以得出題目要求證明的結論。

二、高中數學線性規劃問題中不等式的求解

在高中數學線性規劃部分的學習中，不等式也有著非常廣泛的應用。實際上，利用不等式對線性規劃的方案進行求解是解決線性規劃問題的重要方法。因為利用不等式對數據的可取范圍進行明確是線性規劃問題求解過程中的第一步，也是非常重要的一個步驟，接下來就需要對數據的可取范圍進行區分，比如某一個函數的上半部分大于零，而下半部分小于零，再通過不等式的具體符號來判斷結果是否包含所規劃區域的邊界。具體來講，利用不等式求解線性規劃問題的步驟如下：首先，利用題目中已知的約束條件在坐標軸中畫出可行域，其次，根據目標函數的具體表達式以及可行域對函數的最大值或者最小值進行求解，最后得出具體的數值結果。這種解題方法是所有解決線性規劃問題方法中較為簡單易行的一種，高中數學教師為學生講解線性規劃問題求解方法的過程中，要讓學生充分體會到數形結合思想的重要作用，使學生感受到數學之美。

例如，已知變量x 和y 滿足以下條件：x+y ≥5，x-y+3 ≤0，x ≤3，求解函數z=x+2y 在此區域內的最大值和最小值。這道題目的分析過程如下：在求解這道題目時，必須要充分利用數形結合的解題思想，將題目中已知的變量x 和y 滿足的約束條件在平面直角坐標中畫出來，得到一個區域之后，再在圖中畫出函數z=x+2y 的圖像，根據所學知識可知目標函數的圖像為一條直線，這時可以將直線在開始畫出的可行域中進行平移，一般情況下，在可行域的頂點位置處目標函數取得最大值或者最小值。

三、高中數學中對不等式的取值范圍進行求解

從數學角度來說，取值范圍是指一個數值集合，在這個集合中，所有的數都會滿足特定的條件。在高中數學研究范圍內，通常使用區間和不等式這兩種形式對變量的取值范圍進行表達。在求解參數的具體取值范圍時，也可以采用對函數進行求導并分析函數單調性的方法，但是這種方法的復雜性較高，學生在計算時會容易出現錯誤，如果利用不等式的性質進行求解，那么求解過程會變得簡單許多。一般情況下，利用不等式對參數的取值范圍進行求解的步驟為：首先，對不等式進行移項等基礎變換，將參數分離出來單獨放到不等式的一側，而不等式的另一側則是x 的表達式。其次，根據x 的取值范圍求出包含x 的整個表達式的取值范圍。最后，根據x 的表達式的取值范圍對參數的取值范圍進行求解。

例如，在方程3x+3y=2+2a 中，x+y 的取值范圍為（-∞，0），求方程中參數a 的取值范圍。首先對方程進行變換和化簡，得到x+y=，由于x+y 小于零，那么得到＜0，對這個不等式進行求解，就可以快速得到參數a 的取值范圍。高中數學教師在進行教學時，首先要讓學生明確在解題時不能完全依靠教師的講解或者答案的分析，而是要有自己的思考過程，這樣才可以在真正意義上提升學生的思維能力和數學水平。

在高中數學中，同一道題往往有著不同的解法，而且求解問題時需要有很強的技巧性，這就需要高中教師在教學過程中培養學生的數學思維，對學生的思維進行擴展。對不等式進行教學時，教師可以將不等式在各個知識點中的應用總結出來，這樣學生在求解數學問題時就可以有更多的解題方法。