基于PSO-LSSVM的差動變壓器式位移傳感器的溫度補償

陸騰云，盧文科，左 鋒，馮 陽，吳子恒

（東華大學 信息科學與技術學院，上海201620）

變壓器式傳感器作為一種互感式的傳感器，是一種機電轉換裝置。由于采用差動形式來連接次級繞組，同時又與變壓器的制作有著相同的原理，因此被稱為差動變壓器式傳感器[1]。差動變壓器由鐵芯、初級繞組、次級繞組等組成，這些組成部分都容易受到溫度的影響，包括繞組的阻值以及鐵芯的磁性。

目前主要的溫度補償方法有硬件補償和軟件補償2種。傳統的傳感器多采用硬件補償的辦法，但該方法存在補償效果不好、成本過高、生產效果不穩定、精度難以提高等缺點[2]，因此軟件補償成為當前比較熱門的溫度補償方法。插值法、查表法、最小二乘法、曲線擬合法、BP神經網絡算法等都是比較常用的軟件補償方法。在此，運用粒子群算法（PSO）優化最小二乘支持向量回歸（LSSVM）的模型（PSO-LSSVM），對差動變壓器式位移傳感器的溫度漂移進行補償，在得到溫度補償的預測數據之后，與原本測得的數據相比較，歸納出相應結論。

1 差動變壓器式位移傳感器的工作原理

差動變壓器式位移傳感器主要由1個線框和1個鐵芯組成。初級繞組由線框繞上一組初級線圈組成，為輸入線圈；次級繞組則是在同一線框上另外繞上兩組次級線圈而成，為輸出線圈。同時，在線圈的中心位置放入鐵芯，此鐵芯是用來將被測的位移量轉化為線圈互感量變化的重要裝置，其結構如圖1所示。

圖1 螺線管式差動變壓器結構Fig.1 Solenoid differential transformer structure

圖中，當鐵芯上下移動時，就會使2個次級線圈中的互感量發生變化。在此，采用反向串聯的方式，因此當2個次級線圈中的互感量發生變化時，其電動勢的差即為文中所得到的輸出電壓。在忽略鐵芯損耗和導磁體磁阻以及線圈電容等的理想條件下，其等效電路如圖2所示。

圖2 差動變壓器等效電路Fig.2 Differential transformer equivalent circuit

當激勵電壓U˙加給初級線圈L1a時，根據電磁感應的原理，感應電動勢U˙2a和U˙2b就會分別在2個次級線圈L2a和 L2b中產生[3]。

在文中所述的假設理想條件下，如果鐵芯此時的位置處于初始的平衡位置，一定存在兩線圈的互感系數 M1-M2，那么必然存在U˙2a=U˙2b[4]。 由于文中采用2個次級線圈反向串聯的方式連接，于是輸出電壓U˙0=U˙2a-U˙2b=0，此時的差動變壓器輸出為零。 當鐵芯向上移動時，次級線圈L2a中磁通將大于次級線圈L2b中的磁通，使得M1>M2，使次級線圈L2a中的電動勢U˙2a增加，同時使次級線圈L2b中的電動勢U˙2b減小。 反之，U˙2b增加，U˙2a則減小。 因為U˙0=U˙2a-U˙2b，所以當U˙2a，U˙2b隨著鐵芯的位移 X 變化時，U˙0也必將隨著X變化[5]。

2 PSO-SVM模型的溫度補償原理

2.1 粒子群PSO算法原理

粒子群算法是群智能算法的一種，它源于對鳥群社會系統的研究。鳥類被吸引飛向棲息地，這一行為存在3種原則，分別是：每個個體都需要飛離最近的個體避免碰撞；每個個體都需要飛向整個群體的中心位置；每個個體都需要飛向目標棲息地。在這個過程中，一開始的每一個個體都是無特定目標的飛行，直到其中的一個個體飛到了棲息地，那么此時的期望棲息比期望留在鳥群中具有較大的適應值，其結果會是每一個個體飛向棲息地，從而形成一個鳥群，最終鳥群都會落在棲息地[6]。

對于粒子i在第j維空間中運動的速度及其位置，采用以下公式進行更新：

其中：i=1，2，…，M

式中：M為種群的粒子總數；w為慣性權重因子，其取值是非負的，大小會影響整個種群尋找最優解的能力，一般設定w為隨著進化而線性減小；t為此時的迭代次數；xij（t），vij（t）分別為t時刻第i粒子在j維子空間中的位置和速度；c1，c2為加速因子，一般取值為 0～2；r1j（t），r2j（t）為 2 個獨立的隨機函數，取值為 0～1；pij（t）為第j維子空間中第i個粒子的歷史最優解；pgj（t）為整個種群子t時刻在第j維子空間中的全局最優解。

式（1）的第2項將當前粒子位置與其歷史最優位置之差乘上1個隨機函數，是為了將粒子當前位置向其歷史最優位置做出一定的隨機調整；式（1）的第3項將當前粒子位置與整個種群的歷史最優位置之差乘上1個隨機函數，是為了將當前粒子位置在向個體最優位置做出調整的同時，向種群最優位置做出一定的隨機調整。

在每一次的迭代過程當中，需要根據整個種群的目標函數的值，來確定當前粒子的最優位置pij（t）以及整個種群的最優位置pgj（t）。 設f（x）為最小化的目標函數，則

在迭代的過程中，根據式（1）和式（2）更新各個粒子的速度及位置，根據式（3）和式（4）確定粒子i當前的最好位置及整個種群的群體最優位置。一般來說，當迭代的次數達到設定的條件，或者群體搜索到的群體最優位置滿足預設條件時，迭代結束。

2.2 最小二乘支持向量機（LSSVM）原理

支持向量機是一種基于統計學習理論的機器學習方法，它是將非線性變換映射到高維特征空間中去，從而在高維特征空間中尋找線性函數，來模擬低維空間中的非線性變換[7]。

支持向量機的結構如圖3所示。在特征空間中，通過線性回歸函數

對原始數據進行分類或者擬合。

圖3 支持向量機結構Fig.3 SVM structure

最小二乘支持向量機有別于標準支持向量機的地方，是用等式約束條件代替了標準支持向量機中的不等式約束條件，同時它的損失函數采用誤差的二范數來表示，其效果是調高整體的收斂速度。它的優化問題為

約束條件為

通過對拉格朗日函數的引入，推導出回歸函數模型為

式中：c為懲罰因子；ai為拉格朗日乘子；ξi為松弛因子。在此所選取的核函數為RBF核，即為高斯型徑向基函數：

此外，對于懲罰因子c和核函數中的參數σ需要自行選取。

2.3 PS0-LSSVM模型原理

采用最小二乘向量機的技術建立差動變壓器式傳感器的逆模型，要涉及到對于LSSVM的懲罰因子c和σ的選取。文中采用粒子群算法對2個參數進行選取，提高了模型的抗干擾能力和預測準確度。

PSO-LVSSVM算法的流程如圖4所示。其中，樣本訓練集L是由二維標定試驗得到的位移和溫度數據集。粒子適應度函數表示為預測結果與期望輸出的均方誤差。根據式（3）和式（4）調整最優位置和全局最優位置，具體表示為對于每個粒子，如果它的適應度函數值比單個粒子歷史最優的適應度函數值小，則更新當前粒子最優位置值；如果當前粒子最優位置值比歷史全局最優的適應度函數值小，則更新全局最優位置值。當迭代次數達到設定值則算法結束。此時的值即為最優解。由此便得到最優的c和σ的取值，即得到最優的最小二乘支持向量機模型。

圖4PSO-LSSVM算法流程Fig.4 PSO-LSSVM algorithm flow chart

3 二維標定試驗

二維標定試驗的目的，是測量出在不同溫度下，差動變壓器式位移傳感器測得的數據。

步驟1 將差動變壓器式位移傳感器模塊和溫度傳感器模塊組合在一起，調整恒溫箱的溫度并待其穩定后調節測微頭；

步驟2 在同一溫度下，每0.5 mm記錄1次數據，數據包括差動變壓器式位移傳感器的電壓輸出UX和溫度傳感器的電壓輸出UT；

步驟3 改變恒溫箱的溫度，待溫度穩定后，重復步驟2。如此操作若干次，記錄不同溫度下得到的各組數據[8]。二維標定試驗數據見表1。

根據表1數據，作出差動變壓器式位移傳感器的輸入輸出特性曲線，如圖5所示。

表1 二維標定試驗數據Tab.1 Two-dimensional calibration experimental data

圖5 溫度補償前傳感器的輸入輸出特性曲線Fig.5 Input and output characteristic curve of sensor before temperature compensation

由圖可見，傳感器的輸入輸出特性曲線隨著溫度的變化而變化，即不同的溫度對應于不同的輸入輸出特性曲線。在此采用了靈敏度溫度系數和溫度附加誤差來衡量溫度對該傳感器的影響[9]。

靈敏度溫度系數αs表示靈敏度隨溫度漂移的速度，它的數學表達式為

溫度附加誤差的數學表達式為

式中：T2，T1分別為工作的上、下限溫度；Umax，Umin分別為同一位移量下，工作溫度在T1～T2變化時，該傳感器輸出電壓的最大值、最小值。

由表可知，在溫度從20.03℃到60.29℃變化的情況下，T2-T1=（60.29-20.03）℃=40.26℃，傳感器輸入位移X=7.0 mm時，其輸出量的變化量最大，即Umax=8.729 V，Umin=4.556 V，ΔUmax=4.173 V。據此，由式（10）和式（11），可得

由此可知，該傳感器受溫度的影響比較大，須要對其進行溫度補償。

4 溫度補償

對于PSO-LSSVM溫度補償模型，先采集位移量和溫度的數據，之后經過二維標定試驗，將數據傳輸進PSO-LSSVM算法模型中，得到最終的位移預測值，從而實現溫度的補償[10]。其系統框圖如圖6所示。

圖6 差動變壓器式位移傳感器溫度補償系統Fig.6 Differential transformer type displacement sensor temperature compensation system

在此采用MatLab進行溫度補償模型仿真。因所用粒子群算法只需要優化最小二乘向量機中的2個參數，故設置粒子群的維數為2。同時，設置迭代次數為 300，加速因子c1=1.8，c2=1.2。

先對原始數據進行歸一化，由于文中數據趨近于線性分布，而標準化處理相對來說更適用于高斯分布的數據，因此文中僅考慮對數據進行歸一化處理而不進行標準化處理。參數初始化后，運用PSOLSSVM模型對數據進行訓練，得到結果后反歸一化，便可以得到預測位移值。溫度補償后的預測位移值見表2。

表2 溫度補償后的預測位移值Tab.2 Predicted displacement value after temperature compensation

PSO優化的LSSVM模型得到的懲罰因子，c=30.1296，核函數參數σ=0.0100，預測結果的均方誤差=0.0035。其適應度曲線如圖7所示。

圖7 適應度曲線Fig.7 Fitness curve

由圖可見，粒子群算法只需要迭代約20代就可以找到較優的解；當迭代到100多代后便可以得到最小二乘向量機最優的2個參數值。根據表2溫度補償后的數據作出相應的擬合效果，如圖8所示。

圖8 溫度補償后的擬合效果Fig.8 Fitting effect after temperature compensation

由圖8可見，經過PSO-LSSVM算法補償，溫度對于傳感器的影響明顯變小，輸入輸出關系曲線基本保持在同一條曲線上，對于溫度升高后對輸出的影響有了明顯的改善。算法補償后的傳感器誤差分

析如下：

靈敏度溫度系數αs數學表達式為

溫度附加誤差δ的數學表達式為

式中：T2，T1分別為工作的上、下限溫度；X′max，X′min分別為同一位移下工作溫度在T1～T2變化時，該傳感器的預測最大位移值、預測最小位移值。

由表2可知，在溫度從20.03℃到60.29℃變化的情況下，T2-T1=40.26℃，該傳感器的輸入位移X=5.0 mm時，其預測位移值的變化量最大，即X′max=5.0115 mm，X′min=4.9110 mm，ΔX′max=0.1005 mm。 由式（14）和式（15），可得

由溫度補償前后的靈敏度溫度系數和溫度附加誤差作比較（即式（12）（13）與式（16）（17）比較）可知，αs由補償前的 1.19×10-2減小到了 4.98×10-4，即減小了2個數量級；δ由補償前的47.81%減小到了2.01%，即減小了1個數量級。由此表明，基于PSO-LSSVM模型的溫度補償是十分有效的，提高了差動變壓器式位移傳感器的溫度穩定性。

5 結語

針對差動變壓器式位移傳感器的溫度漂移問題，一般來說，存在硬件補償方法和軟件補償方法[11]。在此采用了基于PSO-LSSVM模型的軟件補償方法；利用了PSO的尋優能力對LSSVM算法中的懲罰因子c和核函數參數σ進行優化選取，在使用LSSVM算法前就能得到最優的算法模型，提高了算法收斂的速度。由試驗數據可知，溫度補償后的靈敏度溫度系數與溫度附加誤差減小了1～2個數量級，說明PSO-LSSVM算法對于溫度補償有著很好的效果，而且避免了手動選取參數的缺點。