基于支持向量回歸的機器人操作臂軌跡規(guī)劃

金啟媛，吳洪明，劉偉鵬

（武漢理工大學 物流工程學院，武漢 430063）

動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性估計SEDS軌跡規(guī)劃算法[1]于2010由Khansari-Zadeh等人提出，該方法首先對操作臂進行簡單的示教動作，得到示教數據，然后通過高斯混合模型和李雅普諾夫穩(wěn)定性判據得到穩(wěn)定性約束條件，推導出產生類似軌跡的軌跡規(guī)劃模型，并具備在整個空間內泛化的能力，即在任意一點，通過該軌跡規(guī)劃模型都可以得到其運動速度。但采用高斯混合模型，其參數求解過程與其設定初值有很大關系，而初始值為隨機值，因此對統(tǒng)一示教軌跡存在多組訓練結果模型的問題，模型精確性也存在一定差異。支持向量機簡稱SVM，是Vapnik等人根據統(tǒng)計學理論提出的學習方法。SVM是以結構追求風險最小化為訓練準則，故對小樣本問題有較好的預測和泛化能力，且在處理非線性問題時引入核函數，巧妙地降低維度解決了復雜的計算問題。SVM根據應用不同，分為支持向量分類（SVC）和支持向量回歸（SVR）。本文在原SEDS基礎上，使用支持向量回歸模型代替高斯混合模型對示范軌跡進行學習，以得到具有類似泛化能力且穩(wěn)定收斂的軌跡規(guī)劃模型。

1 基于SEDS的機器人軌跡規(guī)劃

基于SEDS的軌跡規(guī)劃的整體框架如圖1所示。機器人的控制模型分為兩層循環(huán)，內層循環(huán)指其控制系統(tǒng)的固有循環(huán)，外層循環(huán)為機器人的運動學建模，包括正運動學模塊，而通過SEDS算法得到動態(tài)系統(tǒng)模塊和逆運動學模塊。

圖1 基于SEDS方法控制機器人運動的整體框架Fig.1 Controlling the overall framework of robot motion based on SEDS method

SEDS算法中動態(tài)系統(tǒng)模塊的表達式如下：

式中：：Rn→Rn表示一個非線性連續(xù)微分方程；x為操作臂末端位姿向量；˙為該位姿下末端的速度向量；θ表示模型所有參數。

在動態(tài)環(huán)境下，通過SEDS訓練得到速度模型，該模型的輸入為機器人末端執(zhí)行器位姿，輸出為該狀態(tài)下的速度，對時間積分后求得下一步位置，再經過逆運動學獲取機器人關節(jié)在當前位置的速度，由此來控制其運動軌跡[1]。

SEDS由示范編程結合穩(wěn)定性約束條件推導得出，其原理如圖2所示。示范編程方法指根據任務要求生成一條或多條示教軌跡信息，基于高斯混合模型建模，即未知映射由高斯混合模型擬合得到，通過該模型得到整個空間內任意位姿的軌跡。穩(wěn)定性約束條件是以Lyapunov穩(wěn)定性第二定理為依據，結合示范編程中的回歸模型和選取的李雅普諾夫函數得到，用以保證模型在全局范圍內的穩(wěn)定性。

圖2 SEDS原理圖Fig.2 SEDS schematic

2 穩(wěn)定多維SVR模型設計

2.1 支持向量回歸模型

對于單維輸出的訓練樣本，數據樣本集（x1，y1），…，（xl，yl）∈Rn×R。 假設模型為線性，設回歸函數為[2]

而回歸估計中，最理想的情況為yi-（xi）=0。但通過部分數據進行擬合幾乎不可能達到理想狀態(tài)。因此引入ε不敏感損失函數判定回歸估計模型有效性。當預測值與實際值相差小與很小的正數ε，則可認定估計模型（x）無損[3]。

當樣本數據存在噪聲時，可能會導致回歸模型失敗，故引入松弛變量 ξ=（ξ1，ξ2，…，ξl），以保證式（3）解存在，所得ε-SVR模型的優(yōu)化目標函數為

式中：C為超參，決定回歸模型的扁平度和對大于ε的偏差的容忍之間的均衡。

對于凸二次規(guī)劃問題，利用拉格朗日乘子法去掉約束條件，再通過拉格朗日對偶性轉化為對偶問題（此優(yōu)化問題滿足 KKT條件[4]），如式（4）所示：

對求極小問題的變量求極值：

由于 γi＞0，αi＞0，消去 γi，得到最終的優(yōu)化目標函數：

對于非線性系統(tǒng)的回歸估計，需借助核函數k（xi，x），將樣本點的內積〈xi，xj〉轉換為隱式映射后的內積〈φ（xi），φ（xj）〉，在高維特征空間中進行線性回歸。在式（4）用SMO算法對變量取極值，求解出α，α*后，得到回歸估計模型：

操作臂的軌跡規(guī)劃是非線性回歸問題，優(yōu)先選用高斯徑向基核函數σ為其帶寬，K始終為半正定矩陣。故單維回歸模型可表示為

2.2 于自定義核函數的多維輸出SVR

多維輸出的SVR是單維輸出SVR的疊加，根據式（8）得，多維模型表示為[5]

為分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，常采用李雅普諾夫穩(wěn)定性第二定理，即存在一個連續(xù)以及連續(xù)可微的李雅普諾夫候選函數v（x），并滿足：

式中：x*是=f（x；θ）的吸引點，即目標點[6]。

在SEDS方法中，從運動勢能的角度考慮，越靠近目標點勢能越小，以x表示機器人末端的當前位姿，取李雅普諾夫函數為

此時目標點在原點處，即v（x*）=0。顯然滿足條件1和3，對于條件2：

式中：α= [α …α]Ti1nσ= [σ1…σn]T；B=[b1…bn]T。

將˙（x）轉化為二次型，需借助核函數的性質：若k1為核函數，則對任意函數g（x），k（x1，x2）=g（x1）·k1（x1，x2）g（x2）是核函數[7]。 x 是n維向量，對 x 中的任意一維xj，設g（x）為x與n維空間中表示該維的基pj的乘積，同時k1為高斯徑向核函數，則新得到的核函數為

帶入回歸模型中，對于第j維輸出：

故有：

式（15）中，取加數中的第j項：

要保證上述表達式小于0，則應滿足：

添加這2個約束條件，使得第j項小于0。由此類推，可保證等式（16）右邊至少有一個加數小于0，其他項小于等于0，進而保證等式左邊的和小于0。非支持向量對應參數為零，所以僅需考慮支持向量，設SV為支持向量集由此可得全局范圍內的穩(wěn)定性約束條件為

由約束條件可得，回歸模型中偏置項B只能取0向量，模型變?yōu)槎嗑S無偏SVR模型，因此基于多維支持向量回歸的SEDS軌跡規(guī)劃模型為

3 基于多維SVR軌跡規(guī)劃模型仿真分析

對基于SVR的SEDS進行仿真分析時，其算法是在林智仁教授開發(fā)的libsvm基礎上改造的，仿真數據來自LASA原有的二維數據。本例中，目標函數中模型扁平度與偏差的容忍值之間的權重C和核函數中的參數σ以及ε帶寬度是需要預設的量。為明確參數對模型的影響，采用原SEDS模型提供的二維字母C型示教數據進行預設參數的尋優(yōu)。采用K折交叉驗證法，驗證參數取5，兩個參數的變化范圍為2-8～28之間，變化步長為20.4，確定C和σ的最優(yōu)值，以獲得最小均方差MSE，結果如圖3和4所示。

圖3 ξ1權重C和核函數中的參數σ對應MSE Fig.3 ξ1weightand C parameters σ in the kernel function corresponding to MSE

圖4 ξ2權重C和核函數中的參數σ對應MSE Fig.4 ξ2weightand C parameters σ in the kernel function corresponding to MSE

ε對權重C與參數σ變化不敏感，需要不斷地手動調試[8]。實驗中ε取值在0.1～4之間步長為0.5左右變化，如圖5所示，經調試當ε取1.5時，對示教軌跡有較高的擬合程度，向目標點收斂，同時具備較好的全局泛化能力。

以學習2維輸出時的C形軌跡為例，全局軌跡規(guī)劃模型對比如圖6和7所示。

圖5 示教軌跡再現對比Fig.5 Teaching track reproduction contrast

圖6 原SEDS全局軌跡規(guī)劃模型Fig.6 Original SEDS global trajectory planning model

圖7 基于SVR的SEDS全局軌跡規(guī)劃模型Fig.7 SVR-based SEDS global trajectory planning model

由對比圖可得，基于SVR的SEDS具有和原模型類似的泛化能力，穩(wěn)定性約束條件的存在使得軌跡能穩(wěn)定收斂，不存在局部區(qū)域無法收斂的情況。且對比兩圖中示教軌跡的左側區(qū)域，基于高斯混合模型的SEDS的規(guī)劃軌跡有所偏離，而基于SVR的SEDS仍能保持C形軌跡，故其泛化軌跡的輪廓比原SEDS有一定的提升。

4 結語

本文從改變SEDS學習算法的角度，設計了新的基于支持向量機的穩(wěn)定的軌跡規(guī)劃模型，得到了與原模型類似的泛化能力，且改善了局部區(qū)域的C型軌跡，并仿真驗證了模型的可行性，使其能應用于服務機器人操作臂的軌跡規(guī)劃中。但由于需事先確定預設參數值，這個優(yōu)化過程耗時較長，軌跡規(guī)劃的便捷性會收到一定程度的限制。故下一步需要對初始參數的選擇做研究。