導數問題中參數范圍處理的一種求解策略

江蘇省天一中學 周新偉 吳利華

在高三復習中，導數試題中含有參數是最常見的問題．一般處理參數問題，常用的兩種思路是：分離參數，轉化為求函數的值域問題或轉化為求函數的最大（?。┲祮栴}，此法有時會失效，不贅述；或者直接將參數參與運算求證的過程中，在此過程中再對參數進行分類討論．

一、提出問題

先看一道試題：

設函數f（x）=x2ln x-x+1．

（1）證明：當x≥1時，f（x）≥（x-1）2；

（2）若當x≥1時，f（x）≥m（x-1）2恒成立，求實數m的取值范圍．

解析 對于第一問，f（x）-（x-1）2=x2ln x+x-x2，設g（x）=x2ln x+xx2（x≥1），則g′（x）=2x ln x-x+1，g″（x）=2ln x+1．顯然，g″（x）=2ln x+1＞0，由此可得g′（x）在［1，+∞）上單調遞增，故g′（x）≥g′（1）=0，所以g（x）在［1，+∞）上單調遞增，g（x）≥g（1）=0，所以f（x）≥（x-1）2．

第二問的一般解答形式如下：

設h（x）=x2ln x-x-m（x-1）2+1（x≥1），

則h′（x）=2x ln x+x-2m（x-1）-1（x≥1）．

由（1）知x2ln x≥（x-1）2+x-1=x（x-1），所以x ln x≥x-1．

故h′（x）≥3（x-1）-2m（x-1）=（3-2m）（x-1）．

則h″（x）=2ln x+3-2m．令h″（x）=2ln x+3-2m=0，得當x∈［1，時，h′（x）單調遞減，則h′（x）≤h′（1）=0，所以h（x）在上單調遞減，h（x）≤h（1）=0，即h（x）≥0不恒成立．

審視第二問的解答，可以發現：在處理過程中，用到了前一問的結論，然后對導函數進行了放縮，而后才開始對參數m進行分類討論，技巧性比較強．同時，從系統的觀點來看，對于第二問，結合（1），可以發現當m≤1時，不等式f（x）≥m（x-1）2一定恒成立，那么只要在m＞1的前提下，求解使不等式f（x）≥m（x-1）2成立的m的取值范圍即可．如此，解題過程可以考慮進一步優化．

二、優化思路

接上，當m＞1時，設h（x）=x2ln x-x-m（x-1）2+1（x≥1），

則h′（x）=2x ln x+x-2m（x-1）-1（x≥1），h″（x）=2ln x+3-2m（x≥1）．

不難發現，h（1）=0，h′（1）=0，因此，若要當x≥1時，只需要h′（x）≥h′（1）=0，h（x）≥h（1）=0即可．而這就需要h″（x）=2ln x+3-2m在［1，+∞）上恒大于等于零，也即即可．

至此，我們找到了一個使h（x）=x2ln x-x-m（x-1）2+1≥0在x∈［1，+∞）恒成立的一個充分條件，即

顯然，由h″（x）=2ln x+3-2m在［1，+∞）上恒大于等于零所得的m范圍，即應該是答案A的子集A1，這也就是說，我們找到了使“x≥1時，h（x）≥0”成立的一個充分條件．而當即m∈?RA1時，“x≥1時，h（x）≥0”卻不恒成立，那么就間接得到使h（x）≥0成立的必要條件是m∈A1，也即要想讓h（x）≥0（x≥1）恒成立，參數m的范圍不能大于故是“h（x）≥0（x≥1）”成立的必要條件，進而知m的取值范圍就是集合A1．這種思路清晰明了，簡單易操作，正所謂“充分必要總相宜”，不失為處理導數問題中參數問題的一種比較好的求解策略．

三、方法實踐

例1設函數f（x）=ex-1-x-ax2．

（1）若a=0，求f（x）的單調區間；

（2）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍．

答案（1）a=0時，易得f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增；

例2已知函數f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中實數a＞0．

（1）求a的值；

（2）若對任意的x∈［0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實數k的最小值．

答案（1）a=1；