說說高考對數(shù)學基礎(chǔ)的考查

徐 舟

高考的主要目的是為高校選拔合格的新生，因此必須測試考生必備的數(shù)學基礎(chǔ)．知識的積累和技能的掌握是最重要的學習目標，是解決一切問題的基礎(chǔ)．高考的目的和性質(zhì)決定了它不僅要對考生的學科知識和具體技能進行考核，而且要對知識的內(nèi)在聯(lián)系、學科的基本規(guī)律及方法的理解程度和應用程度進行考查．

因此高三數(shù)學復習不僅要重視解題訓練，而且要通過課本閱讀、解題反思等方法，進一步鞏固基礎(chǔ)．根深才能葉茂．

生甲：一個直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，則其最小內(nèi)角的正弦值為________．

解答設(shè)最小內(nèi)角為θ，則另一個銳角為由正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，有因此有成等比數(shù)列，所以有化簡得cos2θ=sinθ，所以sin2θ+sinθ-1=0，解得sinθ=又因為θ為銳角，故

生乙：他的解題過程比較詳細，但是遺漏了θ為最小銳角的取值范圍．由于0，所以我認為這樣更嚴謹．

師：講得好！此題以直角三角形為背景，考查的基礎(chǔ)知識有正弦函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系和等比數(shù)列的概念等，是在知識的交匯處設(shè)計命題的．三角形中三角函數(shù)的本質(zhì)是刻畫三角形中邊與角之間的內(nèi)在聯(lián)系，充滿著邊與角、邊與邊、角與角互相制約及互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系．因此，在平時的復習中，不能只局限于課本例題或習題，如單純地求值、化簡、證明和解方程、不等式等，必須總結(jié)和體會三角函數(shù)的意義、相互關(guān)系，理解三角函數(shù)在知識內(nèi)容及解題方法上的綜合性．

生丙：已知函數(shù)f（x）=loga（2-ax）在［0，1］上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為________．

解答題中的f（x）是由對數(shù)函數(shù)y=logau與一次函數(shù)u=2-ax復合而來的，由于a＞0且a≠1，可知內(nèi)函數(shù)u=2-ax是減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，所以外函數(shù)y=logau是增函數(shù)，因此a＞1．

生乙：還應該考慮對數(shù)函數(shù)的自變量恒大于0，也就是一次函數(shù)的值恒大于0．由于u=2-ax是減函數(shù)，所以應有2-a＞0，解得a＜2．因此1＜a＜2．

師：正確！復雜函數(shù)大多是由簡單函數(shù)通過四則運算或復合過程所得的，因此解決本題必須熟練掌握對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的基本概念和單調(diào)性．當然，由簡而繁地處理復雜函數(shù)，還需要有一定的邏輯推理能力和數(shù)量計算技能．可見高考數(shù)學試題對基礎(chǔ)知識的考查重在理解、掌握和靈活運用，也即與對能力的考查緊密結(jié)合在一起，而不是在識記和套用的層次上．

生丁：已知函數(shù)那么f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=________．

我拿到此題后，就是逐一計算，發(fā)現(xiàn)計算量比較大．

師：本題主要考查觀察、計算、探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力．題目要求計算6個函數(shù)值的和，若逐個計算然后相加，則計算量比較大，也容易出錯．因此應當細加觀察，發(fā)現(xiàn)特點，總結(jié)規(guī)律，以便作出快速、準確的推斷．要求的和式中，函數(shù)的自變量可分為三組，每組之和均為1，你們想到什么了？課本上有類似的問題嗎？

生乙：等差數(shù)列求和，就是運用首尾配對的方法．本題可以嘗試先求f（x）+f（1-x）的值，看看是否可以發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律．事實上，對任意的實數(shù)x，都有所以原式=3．

師：由此可以注意到，高考對基礎(chǔ)知識的考查是多角度、多層次的，涉及對課本知識和方法（如等差數(shù)列的配對求和）的深刻理解和靈活運用，從而也就形成對能力的考查．尤其要注意推理和計算的密切結(jié)合，本題就是先推理后計算，利用推理簡化計算．所以你們在解題時，應力戒呆板、守舊和一味死算，要重視運用基本方法和算理，合理簡化運算．

生甲：若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+8，則ab的取值范圍是______．

解答先利用消元法，從已知等式中解出并根據(jù)a＞0，b＞0，得出a＞1，因此再利用判別式法，求出ab≥16．

生丙：可令a-1=t＞0，所以因為當t＞0時，t+所以ab≥6+10=16，當且僅當t=3時等號成立．

生丁：用導數(shù)法（過程略）．

生乙：直接應用基本不等式，由得所以得ab≥16，故ab的取值范圍是［16，+∞）．

師：在ab=a+b+8（a＞0，b＞0）這個條件下，求ab的取值范圍，既可以轉(zhuǎn)化為解不等式（如生乙），也可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（如生甲、生丙、生丁）．此題在考查不等式的基礎(chǔ)知識的同時，也突出了對基本數(shù)學思想方法（如消元、換元、基本不等式的運用等）的考查，你們的求解策略都很好，不僅基礎(chǔ)知識掌握得較好，而且能靈活運用數(shù)學思想方法．

生乙：設(shè)a≠b，解關(guān)于x的不等式a2x+b2（1-x）≥［ax+b（1-x）］2．

開始看到此題，認為比較繁瑣，肯定需要分類討論，于是就跳過去，先做后面的題，想著最后再做它．

其實，左邊可化為（a2-b2）x+b2，右邊可先將中括號內(nèi)的整理為（a-b）x+b，再將其平方展開為（a-b）2x2+2b（a-b）x+b2，于是原不等式可化為（a-b）2x2+（a-b）（b-a）x≤0，即（a-b）2（x2-x）≤0．因為（a-b）2＞0（a≠b），所以x（x-1）≤0，解得0≤x≤1，即原不等式的解集為｛x|0≤x≤1｝．

對這道題我真的有“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的感覺．

師：你們在平時的解題中，不要被形式所嚇倒，要學會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，本題就是一個很好的例子．本題主要考查一元二次不等式的求解以及字母式子的變形、運算能力．所給的不等式中含字母參數(shù)a和b，起了一定的干擾作用，突出了對算理、算法的考查．解題的關(guān)鍵是進行正確的同解變形．其程序為：先移項，使不等式的一端變?yōu)?；再將另一端的代數(shù)式展開整理，整理時，既可以按x的冪次整理同類項，也可以按a和b整理同類項，但切忌盲目或隨意變形．這些都是運算的基本方法和技能．

生丙：已知數(shù)列｛an｝，其中an=2n+3n，且數(shù)列｛an+1+λan｝為等比數(shù)列，求常數(shù)λ的值．

解答我是采用從特殊到一般的策略求解的．首先寫出等比數(shù)列的前三項，再利用等比數(shù)列的概念建立關(guān)于λ的方程，然后求解．

有［22+32+λ（2+3）］［24+34+λ（23+33）］=［23+33+λ（22+32）］2，化簡整理得（λ+2）（λ+3）=0，解得λ=-2或λ=-3．故λ=-2或λ=-3．

生乙：不合適吧，需要檢驗．你的結(jié)果僅僅使得前面三項成等比數(shù)列，然而以后各項是否都成等比數(shù)列呢？所以最后需要檢驗．事實上，經(jīng)過檢驗，可知你的結(jié)論是正確的．

我是運用一般的方法解決的，直接利用等比數(shù)列的任意相鄰三項建立關(guān)于λ的方程，有（an+1+λan）2=（an+2+λan+1）（an+λan-1），即［（2n+1+3n+1）+λ（2n+3n）］2=［（2n+2+3n+2）+λ（2n+1+3n+1）］［（2n+3n）+λ（2n-1+3n-1）］，整理得解得λ=-2或λ=-3．

生丁：直接對通項公式進行變形，可得an+1+λan=（λ+2）2n+（λ+3）3n，由等比數(shù)列的通項公式，知λ+2=0或λ+3=0，即λ=-2或λ=-3．

師：這題主要考查等比數(shù)列的概念、通項公式等基本知識，以及待定系數(shù)法、方程思想等基本方法．你們?nèi)煌瑢W的思路都很好．只是生丁的求解過程欠妥，這樣推理不嚴謹，按照高考評分標準，是要扣分的．原因是課本中沒有這樣的結(jié)論，所以一定要回到最基本的原理或概念中去．

最后我們總結(jié)一下，高考對數(shù)學基礎(chǔ)的考查可以歸納為以下幾個方面：

1．基礎(chǔ)知識，即新課標高中數(shù)學課程所涉及的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等．因為數(shù)學是有嚴密邏輯體系的知識系統(tǒng)，各部分內(nèi)容有機聯(lián)系組成一個整體結(jié)構(gòu)，所以基礎(chǔ)知識還應該包括各個部分內(nèi)容之間的聯(lián)系與關(guān)系．

2．基本技能，包括按照一定的程序與步驟進行畫圖、運算、推理的技能．

3．基本思想方法．考查數(shù)學思想方法是高考中的一項基本要求，同時也是由數(shù)學學科的特點所決定的．高考中考查的數(shù)學方法主要有代入法、配方法、待定系數(shù)法、換元法、分析法（后一步是前一步的充分條件，推理形式為“要證……就要證……”）、綜合法（后一步是前一步的必要條件，推理形式為“因為……所以……”）、反證法、歸納法、窮舉法等，數(shù)學思想主要有數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程，還有容易被忽略，其實極其重要的公理化思想（根據(jù)定義、公理、定理、公式、法則等推理）、算法思想（尋求通用的、按一定程序執(zhí)行的解法）等，這些都是基本的數(shù)學思想和方法，在解決數(shù)學問題時發(fā)揮著重要的作用．