談談回歸概念的推理與證明

江蘇省蘇州中學 劉 煒

《論語·為政》有句名言：“知之為知之，不知為不知，是知也．”借鑒到數學學習和解題中，就是理解概念和定理，從而在其框架和規則之下研究問題，這才是真正的智慧．事實上，在數學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現出來，而數學概念則是構成它們的基礎．正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提，以下我們從課本的例題出發談談如何回歸概念進行推理與證明．

例1證明不是有理數．

分析 命題中需要證明的對象不是有理數，而我們只有關于“有理數”的概念，因此只能從有理數的概念出發，即否定命題，使用“反證法”，即有如下證明：

將①式的兩邊平方，變形后得2p2=q2②．

②式表明，q2是2的倍數，從而q也必是2的倍數，于是又可設q=2l（l是正整數），代入②式，整理后得p2=2l2③．

③式表明，p2是2的倍數，所以p也是2的倍數．

這樣，p與q都是2的倍數，它們有公約數2，這與p，q為互質的假定相矛盾，因此，不是有理數．

回顧 該證明方法稱為反證法，是間接證明的一種．反證法的證明過程可以概括為“否定—推理—否定”，即從否定結論開始，經過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定（即肯定原命題）的過程．

分析 我們無法刻畫一個不是等差數列的連續三項，因而可以轉化等差數列中的三項．于是采用反證法，尋找矛盾點，最終肯定原來的命題．

反思 從證明的角度來說，我們所做的一切均是順理成章的；從形式的角度來說，這個等式是顯然不成立的，因為一個無理數不能等于一個有理數．帶著這樣的思考，我們考查2008年江蘇省高考的數列問題．

鏈接（2008江蘇卷節選）（2）求證：對于一個給定的正整數n（n≥4），存在一個各項及公差都不為零的等差數列b1，b2，…，bn，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數列．

分析 類似于變式，我們無法直接說明任意三項都不能組成等比數列；但是其對立面的概念倒是十分清楚，即存在三項組成等比數列，因此便得到合理的等價轉化．

證明 假設對于某個正整數n，存在一個公差為d的n項等差數列b1，b2，…，bn，其中bx+1，by+1，bz+1（0≤x＜y＜z≤n-1）為任意三項成等比數列，

由b1d≠0知，y2-x z與x+z-2y同時為0或同時不為0．

當y2-x z與x+z-2y同時為0時，有x=y=z，與題設矛盾；

故y2-x z與x+z-2y同時不為0，所以由（*）得．

因為0≤x＜y＜z≤n-1，且x，y，z為整數，所以上式右邊為有理數，從而為有理數．

提升 容易發現，高考題源自課本，高于課本，要求我們要對問題的本質與形式進行合適的選擇和處理，從而才能得到真正有效的解決，因此需要對題干中的概念和表述進行分析，從而合理轉化．

誠然，數學的學習需要靠“解題”來鞏固和訓練，但是不是靠“刷題”來強化和提升．其實更需要的是，對一個問題的思考以及解題后的反思，這樣才能對數學思維和數學理解有提升的效果．單墫先生對“解題過程”通常有兩種理解，一種是狹義的，一種是廣義的．狹義的理解是指：“求得所遇到的或所給的數學問題的結果”，即“嘗試→求解→得結果”的過程；廣義的理解是不僅包括“嘗試→求解→得結果”的過程，還要包括總結，也就是“嘗試→求解→得結果→總結”的過程．其中“總結”是解決數學問題中最重要的一環，把握這一環的優與劣，從根本上決定了一個人解題能力的強弱．

根據例1系列問題的解決，我們可以總結發現：從技術層面來說，用反證法證明命題“若p則q”的過程可以概括如下：肯定條件p否定結論q→導致邏輯矛盾→“p且q”為假→“若p則q”為真；從思維層面來說，用反證法可以反客為主，將結論變成條件，從而可能更有利于從概念出發，研究和分析問題，取得更好的進展．

例2設函數f（x）為R上的增函數，F（x）=f（x）-f（2-x）．若F（x1）+F（x2）＞0，求證：x1+x2＞2．

分析 本題中，條件是因變量的大小關系，而結論是自變量的大小關系，意圖是用因變量的大小去控制自變量的大小，這樣的技術難度就在于“逆用單調性”，那么我們可以試著“正用單調性”，從而選擇反證法．

證明 假設x1+x2≤2，則x1≤2-x2，x2≤2-x1．

根據函數f（x）為R上的增函數，可知：f（x1）≤f（2-x2），f（x2）≤f（2-x1），

因此f（x1）+f（x2）≤f（2-x2）+f（2-x1），

從而，f（x1）-f（2-x1）+f（x2）-f（2-x2）≤0，即F（x1）+F（x2）≤0．

這與已知條件相矛盾，因此x1+x2＞2．

回顧 函數單調性的定義就是用自變量的大小去判斷因變量的大小，因此使用反證法之后就可以將結論作為條件，從而契合單調性的定義，開辟了一條順向的思維通道．

變式 設a＞0，函數f（x）=x3-ax在［1，+∞）上單調．

（1）求實數a的取值范圍；

（2）設x0≥1，f（x）≥1且f（f（x0））=x0，求證：f（x0）=x0．

分析 從形式看，這是不動點的形態；從函數看，這是用因變量的值去判斷自變量的值，因此考慮選擇反證法．

解析（1）由于函數f（x）=x3-ax在［1，+∞）上單調，從而f′（x）=3x2-a≥0在［1，+∞）上恒成立，或者f′（x）=3x2-a≤0在［1，+∞）上恒成立（舍），因此a≤3．又因為a＞0，所以實數a的取值范圍為（0，3］．

（2）證明：假設f（x0）≠x0，不妨設f（x0）＞x0，即有f（x0）＞x0≥1．

由于函數f（x）在［1，+∞）上是單調增函數，則f（f（x0））＞f（x0），于是f（f（x0））＞f（x0）＞x0，這與f（f（x0））=x0相矛盾．

因此f（x0）=x0．

反思 雖然與例2中證明不等關系不完全一致，但是依舊是從因變量的相等去判斷自變量的相等，因此可以選擇將“自變量的大小”作為條件，從而選用“反證法”．在這樣的思想指導下，可以比較順利轉化、解決下面這道函數問題．

鏈接（2010年天津卷）已知函數f（x）=x e-x（x∈R）．

（1）求函數f（x）的單調區間和極值；

（2）已知函數y=g（x）的圖象與函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，證明當x＞1時，f（x）＞g（x）；

（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1+x2＞2．

分析 前面兩小問都是常規問題，關鍵在于（3）的認識．如果我們從例2分析的角度出發，我們不難發現，這是一個由因變量的值來控制自變量的值的問題，于是想從“單調性”的順向思維出發，選擇“反證法”．

解 （1）解題過程略，結果如下：

f（x）在（-∞，1）內是增函數，在（1，+∞）內是減函數；

（2）證明過程略．

（3）根據（1）及f（x1）=f（x2）可知，x1，x2分別在1的左右，不妨設x1＜1＜x2．

假設x1+x2≤2，則x2≤2-x1，即2-x1≥x2＞1．

從而由f（x）在（1，+∞）上是減函數可知，f（2-x1）≤f（x2）．

由（2）可知，f（2-x1）＞g（2-x1），即有f（x2）＞g（2-x1）．

又因為y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，即g（2-x1）=f（x1），

因此f（x2）＞f（x1），這與f（x1）=f（x2）矛盾，所以x1+x2＞2．

提升 數學是一種游戲規則，需要運行方向和操作流程，一旦不按照這樣的規程來處理，就有可能出現問題．作為“單調性”這樣的規則而言，就是指用自變量的大小去確定因變量的大小，如果順向處理則十分順利，如果逆向處理則十分困難．由此來說，如果結論出現自變量的大小，那么就需要反客為主，變被動為主動，最終成就問題的解決．

反證法，是我們常用的間接證明方法，往往講到的是“正難則反”，那么何為“正難”？從概念的理解來說，命題中出現了非概念從屬關系，或者逆概念定義規則的狀況，我們為了恰當使用概念，從而將目標結論加以否定，變成我們所理解的概念，也變成我們推理的條件，因此能很好地解決問題．

數學概念的理解也是對“數學游戲規則”的理解與認識，其實不是一種外在的強制，而是一種內在的自由，即“知道就是按知道的做”且“不知道就不能隨便做”，因此才能做到“從心所欲不逾矩”，實現解題中的自由自在．