基于GPS的分段式高程擬合實驗及分析

張濤,陳夢,張丕亞

(山東科技大學 測繪科學與工程學院,山東 青島 266000)

0 引 言

高程基準在國民基礎建設中有著廣泛的應用,例如跨河橋梁建設中的高程基準傳遞、礦區各級控制點的高程基準傳遞[1].傳統的高程傳遞方法如靜力水準法、動力水準法和常規大地測量等方法效率不高、精度低、且受測量環境影響較大[2].GPS測量技術具有全天候、快速、準確的優點, GPS精密大地高測量精度可達毫米級[3],這就為GPS高程應用提供了先決條件,于是如何將GPS測量得到的大地高轉換為高程通用的正常高成為關鍵問題.

目前,GPS高程擬合的主要研究集中于利用諸如多項式曲面擬合、多面函數擬合、半參數擬合等模型進行大地高與正常高的轉換[4].此外還有利用地面重力數據與GPS擬合模型相結合的組合法進行高程擬合[5].以上方法大多專注于數學模型的選取與應用,因此有模型計算經驗性和重力數據分布不均勻等問題[6],本文在常用GPS高程擬合模型的基礎上,利用部分礦區GPS測量數據,采用了分段式高程擬合的方法.通過計算得出:合理分段擬合高程的方法相較于整體式傳遞具有一定的優越性.

1 高程擬合原理及方法

GPS測量所得高程為以參考橢球面為基準的大地高(H),我國工程使用的高程為以似大地水準面為基準的正常高(h).似大地水準面與參考橢球之間的差距稱為高程異常(h),則H與h存在如下關系:

H=h+ξ.

(1)

高程異常(ξ)主要通過函數擬合獲取,常用函數擬合方法有二次曲線法、二次曲面法、多面函數法等.

1.1 二次曲面法

曲面擬合法是認為高程異常在一定范圍內變化平緩的前提下,將高程異常在一定范圍內近似看作是個點坐標的曲面函數,用這個擬合函數計算其他GPS點高程異常,進而求取正常高[7].

在曲面擬合法中,設點的高程異常ξ和平面位置坐標x,y有如下關系:

ξ=f(x,y)+ε.

(2)

式中:f(x,y)為ξ的中趨勢值,即擬合出的似大地水準面;ε為擬合殘差[8].

對于f(x,y)通常取一個n次插值多項式函數

f(x,y)=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+

a5y2+…+anxn.

(3)

式中:a0,…，an為擬合系數；x,y為點的平面坐標.

式(2)的矩陣形式為

ξ=XA+ε，

(4)

式中:ξ=(ξ1，ξ2，…，ξn)T;

A=(a0，a1，…，an)T；

ε=(ε1，ε2，…，εn)T；

對于每個已知點都可以列出上述方程.依最小二乘法原理,在∑ε=min條件下可解得擬合系數A=(XTX)-1(XTξ).將求得的α代入式(7)中便可求得插值點位的ξ,從而得到待測點的正常高.

其中,假定測區的似大地水準面為二次曲面,取式(7)的前六項使其更符合似大地水準面的描述.則表達式為

f(x,y)=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+

a5y2.

(5)

1.2 多面函數法

多面函數擬合法的基本思想:任何不規則的數學表面與不規則的圓滑表面,總可以用一系列有規則的數學表面總和,以任意精度逼近[9-10].其表達式為

(6)

式中：ai為待定參數;Q(x,y,xj,yj)為核函數,常用的核函數為

Q(x,y,xj,yj)=[(x-xj)2+(y-yj)2+σ2]K,

(7)

式中,δ為光滑因子,當K取1/2時模型為正雙曲面函數,當K為-1/2時模型為倒雙曲面函數.

設有n個已知點(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),選其中m(m≤n)個點(xi,yi)(j=1,2,3,…,m)為核函數核心點,令Q(x,y,xj,yj)=f(xi,yi,xj,yj),則有:

(8)

其誤差式的向量式為

V=Qα-ξ,

(9)

依據最小二乘原理可得:

α=(QTQ)-1QTξ.

(10)

2 高程傳遞實驗

2.1 數據來源

本次試驗采用某礦三等高程基準傳遞測量數據,測量方法采用C級GPS靜態測量與三等水準測量相結合的方式.測區整體呈西高東低的走勢,但高程差異不大即地形起伏不大.GPS網形如圖1所示,經網平差與水準平差計算后的各點大地高與正常高如表1所示.

點號大地高/m正常高/m高程異常/m點號大地高/m正常高/m高程異常/m K116.252 212.449 83.802 4K910.784 96.824 23.960 7 K219.512 15.803 53.708 5K1210.4336.436 33.996 7 K314.994 211.101 83.892 4K1310.639 86.653 63.986 2 K411.154 27.163 3.991 2K1410.609 96.672 53.937 4 K58.494 7 4.499 3.995 7K158.599 34.704 13.895 2 K611.885 87.999 83.886 K167.778 63.840 53.938 1 K711.161 47.238 93.922 5K177.068 33.105 43.962 9 K87.350 8 3.404 3.946 8

2.2 高程傳遞方案

GPS網形即可以作為一個整體來處理,也可以切分成幾部分處理[11].本次實驗采用兩種方式進行高程傳遞,即以擬合模型為基礎的分兩段式傳遞與以擬合模型為基礎的整體式傳遞,其中K1、K2、K3、K4、K5、K8、K12、K13、K14、K15為已知點,K6、K7、K9、K16、K17為檢核點.

2.2.1 分段式高程擬合

根據表1中各點高程異常可知,K1、K2、K3、K4、K14、K6點所在區域高程異常變化不是十分平穩的,而其余部分區域的高程異常變化相對穩定.故以K4點為界,針對左側區域高程異常變化較大的特點選擇多面函數擬合法,右側高程異常變化平緩區域則選用二次曲面函數擬合法.

1) 采用多面函數擬合法,以K1、K2、K3、K4、K14五個核心點擬合出K6點的高程異常并依式(1)得到其正常高;因K4、K6兩點距離較近且地形起伏不大,可利用K4點已知高程異常結合水準測量結果檢驗K6點的傳遞精度.

2) 采用二次曲面擬合法,以第一段擬合出的K4點的擬合值代替K6點的高程異常并與K4、K5、K8、K12、K13、K15共七個已知點擬合出K7、K9、K16、K17四個待定點的高程異常進而得到正常高.

2.2.2 整體式高程擬合

1)采用多面函數擬合法,以K1、K2、K3、K4、K5、K8、K12、K13、K14、K15為已知點進行擬合,以K6、K7、K9、K16、K17為檢核點.

2)采用二次曲面擬合法,以K1、K2、K3、K4、K5、K8、K12、K13、K14、K15為已知點進行擬合,以K6、K7、K9、K16、K17為檢核點.

分段傳遞高程結果與分別采用多面函數擬合法和二次曲面擬合法的整體擬合結果進行對比,高程傳遞實驗流程如圖2所示.

2.3 高程傳遞結果

利用MATLAB程序,對第一段和第二段分別采用多面函數法和二次曲面擬合法進行擬合;對整體分別采用多面函數擬合與二次曲面擬合.分段擬合結果如表2所示,整體擬合結果如表3所示.

表2 分段擬合結果

表3 整體擬合結果

2.4 精度評定

1)內符合精度

內符合精度M內有如下計算式:

(11)

式中:ε為參與計算的已知點的擬合殘差;n為參與計算的已知點的個數.

2)外符合精度

外符合精度M外有如下計算式:

(12)

式中:ε為參與計算的檢核點的擬合殘差;n為參與計算的檢核點的個數.

根據表2的擬合結果計算內符合精度與外符合精度[13],計算結果如表4所示.

表4 各傳遞方法精度對比

2.5 結果分析

依表2,分段擬合中第一段最大擬合殘差為0.013 5 m,最小擬合殘差為0.001 7 m.K4點與K6點擬合結果相差0.001 2 m,相差較小,故可以用K4點的擬合值代替第二段中K6點的擬合值作為已知點,第二段結果也間接表明K4已知點的穩定性.第二段最大擬合殘差0.003 8 m,最小擬合殘差0.0014 m.

依表3,多面函數整體擬合結果中最大殘差為0.029 9 m,最小殘差為0.007 9 m.二次曲面整體擬合結果中最大殘差為0.042 1 m,最小擬合殘差為0.007 2 m.

依表4,無論是內符合精度還是外符合精度,分段式高程傳遞精度均優于采用多面函數擬合法和二次曲面函數擬合法的整體傳遞.

3 結束語

無論是二次曲面擬合法還是多面函數擬合法,抑或是其他更為復雜的擬合模型,其目的都是使GPS測量成為真正的全天候、快速、準確的三維測量.結合以上基于GPS高程傳遞的實驗,可得到以下幾點經驗:

1) 分段式高程擬合可以檢驗高程傳遞過程中某些已知點的穩定性,例如本次實驗中利用較近的檢核點K6與已知點K4互相檢驗.

2) 二次全面函數擬合法并不適用于大范圍且高程異常變化不平穩的區域擬合,而分段式高程擬合可以通過適當的分段消除此種模型的缺陷.

3) 結合具體工程實際情況,可以合理進行分段并選擇最具適用性的函數模型.