長桿彈侵徹半無限混凝土靶的理論研究

盧正操,張元迪,文鶴鳴?,周 剛,李名銳,錢秉文

(1.中國科學技術大學中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室,合肥230027; 2.西北核技術研究所，西安710024)

混凝土結構被廣泛應用于國防和土木工程中，經常受到不同形式載荷的作用，尤其是在軍事防護工程中，混凝土防護結構可能會受到各種彈體沖擊及爆炸載荷的作用。因此，研究混凝土結構的侵徹問題對于防護結構的安全計算和安全評估均具有重要意義。Forrestal等對剛性彈侵徹半無限混凝土靶進行了實驗研究[1-5]，采用鋼卵形彈以不同速度侵徹水泥砂漿和混凝土靶，當彈體的沖擊速度v0小于1 300 m·s-1時, 彈體的質量損失在8%之內，且彈體的侵徹深度隨沖擊速度的增大而增大。Gold等利用無氧銅(OFHC)和鉭材料制成的球頭長桿彈以沖擊速度為1 500～1 900 m·s-1侵徹混凝土靶，給出了彈體的殘余質量與侵徹深度的時程曲線[6]。Nia等利用銅錐頭彈以沖擊速度為650～1 200 m·s-1侵徹半無限混凝土靶[7]，結果表明：雖然在侵徹過程中，彈體存在少量的質量損失，但其依舊可被視為變形彈。Mu等利用38CrSi鋼卵形彈以沖擊速度為500～1 500 m·s-1侵徹混凝土靶[8]，實驗結果表明，當彈體的沖擊速度大于一個臨界值時，彈體的侵徹深度急劇減小，彈頭形狀從卵形變成半球形，彈體從剛體侵徹狀態過渡到變形侵徹狀態甚至是銷蝕侵徹狀態。Kong等對洛氏硬度為11.5～11.9的45#平頭鋼彈侵徹砂漿靶進行了一系列實驗[9], 彈體的沖擊速度范圍為510～1 850 m·s-1。實驗結果表明, 當彈體的沖擊速度大于997 m·s-1時，彈體開始發生銷蝕；當沖擊速度小于1 373 m·s-1時，彈體以變形狀態侵徹混凝土靶，此時彈體的形狀類似于酒瓶狀[9]。與長桿彈高速侵徹金屬靶[10]一樣，實驗中也觀察到了由彈體沖擊速度決定的3種侵徹模式。

本文基于長桿彈侵徹半無限金屬靶的理論[19-25]，對長桿彈以不同沖擊速度侵徹半無限混凝土靶進行了研究，得到了長桿彈侵徹混凝土靶不同侵徹模式間的臨界轉化條件及相應的參數計算方程，并將模型計算結果與文獻中的相關實驗數據進行了比較分析。

1 混凝土統一侵徹模型

根據彈體動態強度Yp和混凝土靶靜阻力a0的相對大小，將長桿彈對半無限混凝土侵徹分為Yp≤a0和Yp>a0兩種情況。

1.1 Yp≤a0

當Yp≤a0，且v0>vid時，彈體以銷蝕狀態侵徹混凝土靶。侵徹時，彈體頭部形成蘑菇頭，同時向后拋射的彈體銷蝕碎片呈圓管狀。受彈體侵徹速度、彈靶密度及彈體強度等因素的影響，由向后拋射的彈體銷蝕碎片形成的空心圓管可能會對混凝土靶體進行二次侵徹[24]。

當彈體的侵徹速度u大于臨界速度uf0時，彈靶附近的材料會產生極大的靜水壓，因此可以忽略靶體材料的剪應力，此時彈靶界面材料可以看成近似流體(此為A-T模型的基本假設)。基于文獻[19,20-21,25]的研究，本文認為長桿彈侵徹混凝土靶體時，靶體的響應區與金屬靶板的響應區類似，同樣可以劃分為流動區、塑性區(包括破碎區和開裂區)和彈性區。圖1為長桿彈侵徹半無限混凝土靶示意圖。

(a)Response regions in the target

(b)Rosive penetration

(1)

式中，n為參數，通常n=3[19]。彈體頂點O的壓力可由修正的Bernoulli方程計算得到[19]：

當u≥uf0時，

(2)

當u

(3)

式中，ρp為彈體密度；σr(u)為空穴表面的徑向應力，可利用動態球形空穴膨脹理論計算得出[16]：

σr(u)=a0+a1u+a2u2

(4)

式中,a1,a2為擬合的動阻力參數。在銷蝕侵徹過程中，彈體的銷蝕速率和減加速度可以表示為

(5)

(6)

(7)

式中，vid定義為當Yp≤α0時，彈體侵徹靶體的最小速度，即，當沖擊速度低于該臨界速度時，彈體不能侵徹靶板，此時彈體行為類似于泰勒圓柱撞擊。u=0時，可以得到：

(8)

此時的u～v關系可以通過式(1)--式(4)確定。

彈體殘余長度Lres，h可表示為

(9)

式中，L0為等效彈長，是將彈體等效為質量及橫截面積均相同的平頭彈長度，mm。

當ρp>ρt,且沖擊速度足夠高時，在銷蝕侵徹過程中，彈體形成的銷蝕碎片將沿中軸線向前運動并且繼續侵徹靶體。圖2給出了彈體以沖擊速度v0撞擊靶體時，彈體向后拋射的銷蝕碎片形成的圓管二次侵徹靶體的示意圖。此時，彈體已完全銷蝕。

圖2彈體向后拋射的銷蝕碎片形成的圓管二次侵徹靶體示意圖Fig.2 Debris tube penetrating the target when a penetrator is completely eroded

銷蝕碎片形成的圓管動態強度Ytub為0，銷蝕碎片形成的圓管二次侵徹靶體的侵徹深度為[24]

(10)

式中，ve為彈體向后拋射的銷蝕碎片速度;ue為v=ve時,所對應的侵徹速度；ve可通過式(11)計算得出：

ve=φ(v-u)-u

(11)

式中，φ可以表示為

(12)

Ltub是銷蝕碎片形成的圓管的長度，可通過式(13)確定：

Ltub=φ(L0-Lres，h)

(13)

式(10)中，α為等效密度因子，可由式(14)給出[24]：

(14)

式中，ρave為銷蝕碎片形成的圓管的平均密度；Rm為彈體蘑菇頭半徑；r0為彈體初始半徑。Rm與r0之比為[22]

(15)

其中，p(θ)可以通過將式(1)--式(4)中的u替換為ucosθ計算得到。

由此，當Yp≤α0，彈體的總侵徹深度表示為

Ptot=Ppri+Psec

(16)

1.2 Yp>a0

當Yp>a0時，根據沖擊速度的不同，彈體侵徹混凝土靶體有剛體侵徹、變形非銷蝕侵徹和銷蝕侵徹3種侵徹模式。本文給出3種侵徹模式的求解方程，并確定3種不同侵徹模式之間轉換的剛體速度vr和流體動力學速度vh兩個臨界速度。

1.2.1剛體侵徹

當v0較低時，由于Yp>a0，彈體以剛體狀態侵徹靶體，彈體不會發生變形或鈍粗。

圖3為卵形彈頭侵徹半無限混凝土靶體的示意圖。

圖3卵形彈侵徹半無限混凝土靶體的示意圖Fig.3An ogival-nosed rigid projectile penetrating a semi-infinite concrete targets

(17)

當vcosφ0≥uf0時，存在一個臨界角度φc，使得vn=vcosφc=uf0；當vcosφ0

(18)

p(φ)=σr(vn),φc≤φ≤π/2

(19)

式中,vn=vcosφ為侵徹速度沿卵形彈圓弧表面的法向速度分量，對于一個給定的彈頭形狀,如卵形彈，其所受的靶體合力F(r0,v)與Ψ，r0及v有關：

(20)

因此,剛體侵徹時，彈體的侵徹深度為

(21)

式中,m為卵形彈的初始質量。

本文提出的剛體侵徹模型是在文獻[16]提出的模型基礎上改進的。當vcosφ0

1.2.2變形非銷蝕侵徹

圖4為長桿彈變形非銷蝕狀態示意圖。從圖中可以看出彈體變形非銷蝕侵徹半無限混凝土靶體的初始狀態和變形狀態。圖中，A0為彈體未變形的橫截面積；A彈體變形后的橫截面積；L為初始彈長；EP為彈體變形部分與未變形部分的界面；CH為界面EP相對于O點的運動速度。

(a)Initial state

(b)Deforming non-erosive state

如果v0滿足vr

Ptot=Pdef+Pres,r

(22)

式中,Pdef為彈體在變形非銷蝕狀態的侵徹深度;Pres,r為殘余彈體以剛體狀態侵徹的深度。

由質量守恒和動量守恒定理可以得到：

(v-u+CH)A0=CHA

(23)

(v-u+CH)A0ρp(v-u)=

F(rd,u)-YpA0=

f(u)A-YpA0

(24)

式中,F(rd,u)為彈頭所受阻力的合力，可通過式(20)得到。rd為彈體變形后的橫截面半徑。彈體未變形部分的長度變化以及加速度可表示為

(25)

(26)

聯立式(23)-式(26)，得到彈體變形非銷蝕狀態下的u～v關系為

(27)

因此，彈體以變形非銷蝕狀態侵徹混凝土靶的侵徹深度可以表示為

(28)

(29)

因此,殘余彈體的總長度為

(30)

(31c)

式中,a，b為實驗擬合參數；vc為式(31a)值與式(31b)值相等時所對應的彈體沖擊速度。常數c可通過文獻[22]中長桿彈侵徹半無限靶的理論確定。

1.2.3銷蝕侵徹

當v=vh時，彈體的侵徹模式從銷蝕侵徹轉變為變形非銷蝕侵徹，彈頭半徑不再變化且與v0=vh時的彈頭半徑相同；當v=vr時，彈體由變形非銷蝕狀態轉變為剛體狀態，并以剛體狀態繼續侵徹混凝土靶體直到侵徹過程結束。此時，彈體總侵徹深度為

Ptot=Ppri+Pdef，r+Pres,r+Psec

(32)

式中,Ppri為彈體銷蝕侵徹的侵徹深度;Pdef,r為殘余彈體在變形非銷蝕狀態下的侵徹深度;Prig,r為 彈體剛體狀態下的侵徹深度。Ppri可以通過將式(7)中的vid替換成vh得到：

(33)

銷蝕侵徹階段,彈體的u～v關系與Yp<α0時的關系相似。當銷蝕侵徹結束時，殘余彈長Lres,h的計算公式為

(34)

計算Pdef,r的公式與式(28)類似，只需將其積分上限v0替換為vh，即,

(35)

當v=vr時，彈體殘余長度的計算方法也與式(29)--式(30)基本相同，只需將其中的L0替換成Lres,h,v0替換為vh即可。

(36)

除去蘑菇頭之外,彈體的殘余長度可以近似表示為

(37)

在剛體侵徹階段,殘余彈體的Prig,r為

(38)

式中，mres為殘余彈體質量；二次侵徹深度的計算方法與Yp>α0中的侵徹深度計算方法相同，即，

(39)

1.2.4vr和vh的確定

(40)

vr=F-1(YpA0)

(41)

其中，F-1為F的反函數。

基于先前的工作[25]，本文認為,判斷彈體是否進入銷蝕侵徹狀態的主要依據為長桿彈頭部是否形成了穩定的蘑菇頭。由式(11)和式(12)可以看出，長桿彈形成穩定蘑菇頭，且銷蝕碎片拋射出的條件為

(42)

因此，vh的計算公式為

(43)

其中，uh為v=vh時所對應的彈體的侵徹速度。

2 與實驗結果的比較與討論

圖5卵形4340鋼彈侵徹不同強度混凝土靶板模型預測深度與實驗數據[2-5]比較
Fig.5Comparisonofourmodelpredictionswithtestdataforthepenetrationofconcretetargetsimpactedbyrigidogival-nosed4340steelprojectiles

從圖5中可以看出，與He[16]及Forrestal[15]的模型相比，本文理論模型預測的剛體侵徹深度與實驗得出的結果十分吻合。

Kong等利用45#鋼平頭彈正撞擊半無限混凝土靶的侵徹實驗[9]，如圖7所示。從圖中可以觀察到彈體在侵徹過程中的3種狀態。該實驗中，彈擊的沖擊速度為510～1 855 m·s-1，ρp為7 757 kg·m-3，υ為0.3,Y0為380 MPa,Yp為665 MPa。L0為30 mm,r0為3 mm。

(a)v0=238 m·s-1

(b)v0=276 m·s-1

(c)v0=314 m·s-1

(d)v0=370 m·s-1

圖745#鋼彈殘余彈體實驗圖[9] Fig.7Post-test photographs of 45# steel penetrators[9]

本模型計算中將彈體假定為球形彈，將上述參數代入式(41)和式(43)得到，vr為599 m·s-1，vh為1 503 m·s-1，這些理論計算值與實驗觀察結果[9]一致。當彈體以較高沖擊速度侵徹混凝土靶板時，由于燒蝕和磨損效應會造成一些質量損失，這將在以后的工作中予以考慮。

彈體形成的蘑菇頭半徑與初始半徑的比值R/r0和彈體撞擊初速v0的關系為

599 m·s-1≤v0≤769 m·s-1

(44a)

769 m·s-1

(44b)

(44c)

圖8(b)為理論模型預測的彈體殘余質量與實驗結果[9]的比較。由圖8(b)可知，本模型的預測結果與實驗數據基本吻合。當v0>vh時，彈體殘余質量隨沖擊速度的增加而減小，當沖擊速度為1 200～1 500 m·s-1時，模型預測的彈體殘余質量高于實驗結果，而當沖擊速度高于1 500 m·s-1時,模型預測結果相比實驗結果偏低。需要注意的是，模型并沒有考慮在較高的侵徹速度下，燒蝕和磨蝕效應造成的一些彈體質量損失。

(a)Diameter of residual penetrator

(b)Mass of residual penetrator mass

圖9給出了模型預測的總侵徹深度隨沖擊速度的變化關系，并與Kong等得到的實驗數據[9]進行比較，圖中虛線表示無相互作用模型預測的侵徹深度，實線表示與殘余彈體有相互作用模型預測的侵徹深度。

圖9本文模型預測的侵徹深度與實驗數據[9]的比較Fig.9Comparison of our model predictions with the experimental data[9]

如果彈體未完全銷蝕，銷蝕碎片形成的圓管與殘余彈體之間有相互作用，那么碎片圓管對總侵徹深度的影響可以忽略；如果彈體完全銷蝕，銷蝕碎片直接對混凝土靶板產生二次侵徹，那么就需要考慮其對總侵徹深度的貢獻[25]。因此總侵徹深度可以寫為

Ptot=Ppri+Psec，v0>vce

(45a)

Ptot=Ppri+Pdef+Prig，v0≤vce

(45b)

其中,vce為彈體完全銷蝕的臨界速度; 對于45#鋼彈侵徹半無限混凝土靶板，vce為2 380 m·s-1。

從圖9可以看出，本文模型很好地預測了彈體在變形侵徹階段和銷蝕侵徹階段的侵徹深度，但對剛體侵徹階段的侵徹深度預測過高，這是因為目前的模型是針對球頭彈建立的，而實驗中使用的是平頭彈，與球頭彈相比，平頭彈所受阻力更大，因而會導致侵徹深度更小。當沖擊速度高于2 500 m·s-1時，利用式(32)與式(45)計算得出的侵徹深度幾乎相同，因為此時彈體近乎完全銷蝕。由此可以發現，式(32)和式(45)分別代表彈體能以銷蝕狀態侵徹混凝土靶體的總侵徹深度的上、下限。此外，本模型預測的3種侵徹模式與實驗觀察結果基本一致。

表1本模型計算中的各參數值

Tab.1Thevaluesofvariousparametersusedinourmodelcalculation

f'c/MPaρt/(kg·m-3)a0/(108 Pa)a1/(105 kg·m-2s-1)a2/(kg·m-3)50.0[9]2 2003.123.442 45539.0[7]2 4092.915.12 636 44.1[7]2 5353.204.83267751.9[7]2 5173.306.212 63765.6[7]2 4373.767.022 64937.4[7]2 2402.953.862 575vr/(m·s-1)vh/(m·s-1)vc/(m·s-1)vce/(m·s-1)5991 5037692 3804901 4166292 1004261 3855442 0803601 3714572 0702901 3993552 0704101 0815102 430

圖10本文模型預測侵徹深度與錐頭銅彈侵徹不同強度混凝土實驗結果[7]的比較
Fig.10Comparisonofourmodelpredictionswiththetestdata[7]forthepenetrationofcopperpenetratorsintoconcretetargetswithunconfinedstrength

圖11給出了本文理論模型預測的侵徹深度與球形銅(OFHC)彈正撞擊37.4 MPa混凝土靶實驗結果[6]的比較。

圖11本文模型預測侵徹深度與OFHC銅彈侵徹半無限混凝土靶實驗數據[6]的比較Fig.11Comparison between our model predictions and the test data [6] for the penetration of concrete targets struck normally by copper (OFHC) penetrators

值得注意的是，在Gold等的實驗中[6]，相同的彈體以較高撞擊初速侵徹混凝土靶板后還有彈體殘余，而在撞擊初速度較低時，彈體完全銷蝕，這也許是其實驗數據分散的原因。雖然如此，總體上講，模型預測的侵徹深度與實驗數據大致吻合。從圖11中可以明顯看出，本文模型預測結果與錐形銅彈侵徹混凝土靶板的實驗數據吻合較好。

圖12為本文理論模型預測的侵徹深度隨時間變化的曲線與Gold[6]實驗數據的對比，彈體沖擊速度為1 836 m·s-1，圖中虛線為A-T模型預測的侵徹深度時程曲線。從圖中可以看出：本文模型預測結果優于A-T模型的預測結果，與實驗數據吻合較好。

圖12本文模型預測的侵徹深度時程曲線與實驗數據[6]的比較Fig.12Comparison of the model predictions with the experimentally obtained penetration-time history[6]

3 結論

本文對長桿彈侵徹半無限混凝土靶體問題進行了理論分析, 在已有的長桿彈侵徹金屬靶理論模型的基礎上，在統一框架內建立了混凝土侵徹的理論模型。模型中根據彈體動態強度Yp和靶板靜阻力a0的相對大小，將混凝土侵徹問題分為Yp≤a0和Yp>a0兩類情況分別進行了討論:

1)Yp≤a0：當長桿彈撞擊初速度v0小于界面失效速度vid時，長桿彈不能侵徹混凝土靶板；當v0大于vid時，彈體只能以銷蝕狀態侵徹靶板。

2)Yp>a0：通過剛體速度vr和流體動力學速度vh將彈體侵徹過程分為3個階段。當v0小于vr時，長桿彈以剛體狀態侵徹靶板；當v0介于vr和vh之間時，彈體以變形非銷蝕狀態侵徹靶板；當v0大于vh時，彈體以銷蝕狀態侵徹靶板。此外，理論確定了這兩個臨界速度，并給出了相應的計算公式。

3)當彈體完全消失時需要考慮彈體銷蝕碎片對混凝土靶二次侵徹的影響。

4)模型預測結果與實驗得到的侵徹深度、侵徹模式、殘余質量和時程曲線等數據吻合得較好，驗證了本文理論模型的準確性。