含徑流式水電系統(tǒng)安全經濟調度的矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法

冷 鵬，陳 眾，伍雅娜，湯 俊

(智能電網運行與控制重點實驗室(長沙理工大學)，湖南 長沙 410004)

0 引言

相對其他清潔能源而言，水電資源具有更高的經濟和社會效益。徑流水電站因無調節(jié)庫容而調節(jié)能力很差[1]，其出力直接受天然來水影響而呈現(xiàn)明顯的隨機性。

因市場價格、風力、來水量等引起的發(fā)電出力不確定性的調度問題可用機會約束規(guī)劃[2]、條件風險價值[3]、蒙特卡羅方法等方法[4]，協(xié)調風險與利潤以實現(xiàn)最優(yōu)決策。這些處理不確定性問題的方法是基于概率統(tǒng)計學的隨機規(guī)劃方法[5]，都是在確定性分布的基礎上建模，需要得知隨機變量的完整分布統(tǒng)計特性。一般通過對歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計得出概率分布函數(shù)，其矩即期望、方差、協(xié)方差等均為確定值。另一類處理不確定性問題的方法是魯棒優(yōu)化方法[6]，其不需要知道隨機變量的概率分布函數(shù)，只需得知參數(shù)所屬區(qū)間[7-8]。一般用不確定集合刻畫隨機變量的不確定性，并建立考慮隨機變量在所給定集合中任意變化時的最嚴重情況下的min-max優(yōu)化模型[9]，但是這類方法未能有效利用一些可獲取的概率統(tǒng)計信息。

徑流水電的出力在一定范圍變化[10]，且具有概率分布特性[11]。雖然徑流水電出力難以用某一確定概率分布函數(shù)進行刻畫[12]。根據(jù)文獻[13]并參照風電出力特點可知，徑流水電出力為矩參數(shù)在一定范圍內波動的隨機量，故考慮采用矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法出力含徑流水電系統(tǒng)的安全經濟調度問題。

區(qū)別于隨機規(guī)劃方法以確定的概率分布函數(shù)描述不確定變量，也區(qū)別于傳統(tǒng)魯棒優(yōu)化方法用區(qū)間不確定集合直接描述變量范圍，矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法(Distributional Robust Optimization Under Moment Uncertainty，DRO-MU)結合隨機規(guī)劃和魯棒優(yōu)化思想的一種處理含隨機變量優(yōu)化問題的方法，它通過不確定集合描述其矩即期望與協(xié)方差[14]，可以用于解決含徑流水電等不確定出力機組的系統(tǒng)優(yōu)化調度問題。

1 矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法

1.1 矩不確定集合

設凸優(yōu)化問題的一般形式為：

(1a)

s.t.φ(x,ξ)≤0

(1b)

式中：x為決策變量；ξ為某一類問題的參變量；χ為可行解的凸集；h(x,ξ)、φ(x,ξ)均為關于x、ξ的凸函數(shù)。從該優(yōu)化問題可知：

(1)如果參變量ξ為確定值，則該問題是一般的凸優(yōu)化問題；

(2)如果參變量ξ為隨機變量，則該凸優(yōu)化問題為不確定性優(yōu)化問題。

針對情況(2)不確定性優(yōu)化問題，通常的處理方式是通過對不確定變量長期的實測數(shù)據(jù)統(tǒng)計、分析、擬合得出其概率分布函數(shù)，由此求得的期望、協(xié)方差等矩是確定的。但是，在實際應用中，不確定變量(如風電短期出力)規(guī)律性不強，波動大，難以用單一的概率分布進行準確刻畫，但是其分布的矩卻是在一定范圍內波動的。因此，假設其期望、協(xié)方差的取值屬于特定集合D[15]。其結構如下：

(2)

式中：μ0為隨機變量ξ的預估期望；Σ0為隨機變量ξ的預估協(xié)方差，Σ00表示半正定；γ1、γ2為該集合的半徑限制參數(shù)，γ1≥0，γ2≥1；ψ表示在可測空間上的所有概率密度集；S是由隨機變量ξ所有可能取值組成的樣本空間，S?Rm。

不確定集合D中第一個約束條件表示隨機變量ξ包含于S的概率為1；第二個約束條件表示隨機變量ξ的實際期望處在橢球球心μ0(即預估期望)、橢球半徑為γ1的橢球不確定集內；第三個約束條件表示隨機變量ξ的實際協(xié)方差處在矩陣不等式限定的半定錐不確定集內。

1.2 目標函數(shù)對應的min-max函數(shù)

針對情況(2)的不確定優(yōu)化問題，首先根據(jù)均值方差理論考慮其目標函數(shù)的期望值最小，將式(1a)寫成以下形式：

(3)

引入魯棒優(yōu)化思想，在隨機變量概率分布函數(shù)的期望、協(xié)方差屬于不確定集合D的基礎上，將上述目標函數(shù)轉化為考慮其最嚴重情況下的min-max問題[15]：

(4)

其中，E[h(x,ξ)]為目標函數(shù)h(x,ξ)的期望。

1.3 不等式約束的條件期望預處理及其對應的min-max函數(shù)

不等式約束中含隨機變量時，直接取不等式約束函數(shù)(1b)的期望進行處理會造成不等式成立的概率水平、不等式越界的分位點及越界后的均值均不明確，不能準確反映不等式成立概率水平。而采用條件期望預處理不等式函數(shù)，能有效刻畫不等式小于分位點的概率及越界后的超額平均值，故可先求取φ(x,ξ)在概率水平β下的條件期望。

若隨機變量ξ的概率密度函數(shù)為p(ξ)，則條件期望表達如下：

(5)

式中：qβ(x)表示分位數(shù)；β表示置信水平，其具體表達的是一個概率水平。式(5)是指函數(shù)φ(x,ξ)在以不小于β概率水平下大于qβ(x)的期望值，即條件期望。

式(5)難于解析，可引入函數(shù)Fβ(x,α)來計算其條件期望值[16-17]：

(6)

式中：α為引入的輔助變量。

結合式(6)的條件期望值，引入魯棒思想，在隨機變量概率分布函數(shù)的期望、協(xié)方差屬于特定集合D的基礎上，考慮不等式約束(1b)最嚴重情況下的min-max問題[18]：

(7)

1.4 分布式魯棒優(yōu)化模型的對偶轉換

綜上所述，一般含隨機變量的凸優(yōu)化問題對應的矩不確定分布式魯棒優(yōu)化模型如下：

(8)

此時的矩不確定分布式魯棒優(yōu)化模型為NP難問題，無法直接求解出其最優(yōu)解。采用拉格朗日對偶原理[19]，將其轉換成確定性的半定規(guī)劃模型，便于求解。目標函數(shù)轉化后的模型如下：

(9)

(10)

因此，通過對偶轉換，矩不確定分布式魯棒優(yōu)化模型變換為如下半定規(guī)劃問題：

(11)

2 含徑流水電出力矩不確定的系統(tǒng)安全經濟調度

2.1 水火電系統(tǒng)安全經濟調度一般模型

以常規(guī)火電機組發(fā)電成本最小為目標函數(shù)，同時考慮發(fā)電機出力上下限約束、系統(tǒng)功率平衡約束、線路潮流安全約束，建立接入徑流水電電力系統(tǒng)安全經濟調度的一般模型：

(12a)

(12b)

eTPf+eTPh-eTPd=0

(12c)

|PL|≤PLmax,L=1,2,…,l

(12d)

2.2 考慮徑流水電出力矩不確定的優(yōu)化模型

2.2.1 徑流水電出力的矩不確定集合

結合矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法，考慮徑流水電出力Ph的隨機性，假設其分布Fh的均值、協(xié)方差取值范圍屬于特定集合D：

(13)

式中：μh為隨機變量Ph的預估均值；Σh為隨機變量Ph的預估協(xié)方差，Σh?0；γ1、γ2為該集合的半徑限制參數(shù)，γ1≥0，γ2≥1；ψ表示在可測空間上的所有概率密度集；S是由隨機變量Ph所有可能取值組成的樣本空間，S?Rm。

2.2.2 目標函數(shù)對應的min-max問題

結合矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法，在μh和Σh屬于特定集合D的基礎上，將系統(tǒng)安全經濟調度模型(12)中目標函數(shù)以式(3)的方法轉化為考慮其最嚴重情況下的min-max問題：

(14)

2.2.3 線路安全潮流約束對應的min-max問題

模型(12)中含隨機變量Ph的線路潮流安全約束，直接對其求取期望不能反映不等式成立概率水平。因此，對線路潮流安全約束不等式(12 d)求取條件期望值作為預處理。

支路潮流方程式為：

PL=BLMX(Pf+Ph-Pd)

(15)

式中：M為節(jié)點支路關聯(lián)矩陣；BL為各支路導納組成的對角矩陣；X=B-1，B為節(jié)點導納矩陣。令H=BLMX=(H1H2…Hj…Hl)T，式(12 d)等價于：

|H(Pf+Ph-Pd)|≤PLmax

(16)

H為節(jié)點對線路的靈敏度系數(shù)矩陣，式(15)即線路安全靈敏度矩陣約束。系統(tǒng)中所有支路均需滿足式(14)，選擇其最大值所在的支路作為參考，若該支路滿足式(15)，則所有支路均滿足，故該不等式約束也寫成：

max[|H(Pf+Ph-Pd)|-PLmax]≤0

(17)

假設第j條支路取值最大，定義電網安全域函數(shù)：

(18)

則線路安全靈敏度矩陣約束可寫成：

Hj(PG,PS,PD)≤0

(19)

根據(jù)式(6)～(8)，式(18)等價于：

(20)

因此，徑流水電出力矩不確定的分布式魯棒優(yōu)化模型為：

(21)

3 對偶轉換及其半定模型

3.1 目標函數(shù)的對偶轉換

運用矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法處理不確定性優(yōu)化問題時，考慮到模型等式約束中的隨機變量不易于處理，于是將系統(tǒng)功率平衡約束(12c)代入目標函數(shù)，消去隨機變量。

假設節(jié)點1為系統(tǒng)的平衡節(jié)點，則系統(tǒng)功率平衡約束等價于：

(22)

將式(22)代入目標函數(shù)中：

(23)

其中：

根據(jù)式(10)，采用對偶理論將目標函數(shù)(22)化成如下的半定規(guī)劃問題：

min(Q,q,r,t)r+t

t≥(γ2Σ+μμT)·Q+μTq+

Q0

(24)

式中：Q、q、r、t為模型對偶過程中產生的新的變量；Q為不對稱矩陣，Q∈Rm×m；q∈Rm；r,t∈R。

由半正定的定義可知，式(24)中第一個不等式約束等價于：

(25)

3.2 線路安全靈敏度矩陣約束轉換

根據(jù)式(11)，采用對偶原理將預處理后的不等式約束(20)化成如下的半定規(guī)劃問題：

(26)

式(26)中第一個不等式約束可寫成：

(27a)

(27b)

由半正定的定義可知，式(27a)、(27b)等價于：

(28a)

(28b)

3.3 轉換后的半定規(guī)劃模型

通過對偶轉換，原徑流水電出力矩不確定的分布式魯棒優(yōu)化模型轉換成確定性的半定規(guī)劃模型：

(29)

由模型(28)可看出，轉換后的半定規(guī)劃模型求解簡單，只需用計算工具求解滿足約束條件下的常規(guī)機組發(fā)電成本最小。

4 算例與分析

4.1 仿真系統(tǒng)

為驗證矩不確定分布式魯棒優(yōu)化模型的有效性，對IEEE- 30節(jié)點系統(tǒng)進行分析計算，取功率基準值為100 MVA。在MATLAB中采用YALMIP進行求解。系統(tǒng)內有6臺常規(guī)機組，節(jié)點1為平衡節(jié)點，徑流水電機組在22、25節(jié)點處接入系統(tǒng)。其中22節(jié)點預測出力0.8 p.u.，預測偏差值的波動方差取0.2；25節(jié)點預測出力0.4 p.u.，預測偏差值的波動方差取0.12。系統(tǒng)總負荷為2.834 p.u.。其他基準要求為：γ1=0.1，γ2=1.1，α=0.92。系統(tǒng)數(shù)值仿真均是在基準要求上逐個改變相應參數(shù)進行仿真討論。

4.2 仿真結果分析

(1)不確定集范圍限制參數(shù)γ1、γ2對總成本的影響

從圖1、圖2可以看出，隨著不確定集范圍的限定參數(shù)γ1和γ2的增大，系統(tǒng)火電機組的發(fā)電成本也在增大。它們的值越大，表明徑流水電出力預測準確性越差，其不確定性對系統(tǒng)安全性的影響增大。這會導致系統(tǒng)調度員采用更保守的運行方式，犧牲系統(tǒng)一定的經濟性來滿足系統(tǒng)安全可靠運行的要求。

圖1 總成本隨γ1值的變化曲線

圖2 總成本隨γ2值的變化曲線

(2)不同置信水平下的調度方案

置信水平反映地是滿足條件期望約束的概率水平。表1給出不同置信水平下的調度方案。由圖3可看出，系統(tǒng)的常規(guī)機組總發(fā)電成本隨著置信水平的提高而增大，因為置信水平越高，電網運行安全性越高，從而系統(tǒng)發(fā)電成本也會增加。

(3)分布特性未知時與傳統(tǒng)魯棒優(yōu)化的不同特性

現(xiàn)實中存在難以得知隨機變量分布的情況，此時隨機規(guī)劃方法不適用，因而可采用矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法或傳統(tǒng)魯棒優(yōu)化方法。

表1 不同置信水平下的調度方案 p.u.

圖3 總成本隨置信水平的變化曲線

以徑流水電為例，由于出力受氣象因素等多因素的綜合影響，其預測值可能不服從現(xiàn)有某一概率分布。如圖4所示，當對該預測值的預測偏差進行分布擬合，利用KS檢驗(Kolmogorov-Smirnov test)驗證樣本的觀測經驗分布是否服從假設分布。

圖4 某預測出力值下的實際偏差

由表2可以看出，所有假設分布的顯著性水平均低于設定值。因此認為該徑流水電出力預測偏差數(shù)據(jù)樣本不服從所有假設的常見分布。

表2 擬合分布的KS檢驗結果

當徑流水電出力預測偏差數(shù)據(jù)不服從已知分布時，基于確定性分布的CVaR方法無從刻畫，不能求解。而文中的矩不確定分布式魯棒優(yōu)化是基于矩參數(shù)進行建模求解，其矩參數(shù)比較容易獲取，不涉及具體分布類型，對分布未知的預測數(shù)據(jù)仍具有適用性。

(4)與矩確定的CVaR方法對比

矩不確定分布式魯棒方法在隨機規(guī)劃的基礎上，通過不確定集合描述其矩的不確定性，其對不確定性的描述更全面。在能夠獲取隨機變量完整分布特性的情況下，以CVaR方法為例進行對比分析。

正態(tài)分布下CVaR方法計算的調度方案如表3所示，其總成本為467$，與基準要求下DRO-MU所得方案相比偏低。這是由于CVaR方法沒有考慮分布的不確定性，導致發(fā)電成本較低的平衡機組出力比矩不確定分布式魯棒方法的調度方案大，故總成本偏低。

表3表示矩不確定魯棒優(yōu)化方法所得的調度方案與CVaR方法所得調度方案在不同正態(tài)分布下條件期望約束滿足的實際置信水平，即在給定調度方案下條件期望約束成立的實際概率。

表3正態(tài)分布下CVaR方法的調度方案

p.u.

由表4可知，在基準要求下，兩種方法所得調度方案的置信水平均大于0.92，但采用CVaR方法所得調度方案在分布發(fā)生變化時，部分條件期望約束條件可能不滿足所要求的概率水平；而矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法均能達到要求的概率水平。這是由于矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法在建模時就考慮到了分布的不確定性，能有效計算不確定集范圍內的安全性所需要達到的要求，故矩不確定分布魯棒優(yōu)化方法的調度方案安全性更高。

表4 矩參數(shù)發(fā)生變化時實際置信水平對比

5 結論

矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法既適用于帶有矩不確定隨機變量的電力系統(tǒng)優(yōu)化調度問題，也適用于隨機變量概率分布未知的情況。對于分布未知的問題，該方法與傳統(tǒng)魯棒優(yōu)化的在數(shù)學求解方法上有本質區(qū)別，但計算結果均與不確定集參數(shù)的選擇相關；對于分布已知時，該方法比現(xiàn)有隨機規(guī)劃方法更充分利用了分布參數(shù)及其可能存在的隨機性。本文中采用矩不確定分布魯棒優(yōu)化方法所得方案與具體分布下采用CVaR方法所得方案相比，調度成本稍高，但考慮矩的不確定性，方案安全性更強。該方法也可用于求解其他具有隨機性特點如價格、負荷、風電等參數(shù)的不確定性問題。