電力生產計劃的魯棒優化模型及應用研究

林哲明，趙 磊,b，朱道立,b

(上海交通大學 a. 中美物流研究院； b. 安泰經濟與管理學院，上海 200030)

0 引言

電能被廣泛應用在動力、交通、化學、通信等各個領域，是科學技術進步、國民經濟發展的主要動力。制定安全可靠、成本可控的電力生產計劃是政府規劃制定者面臨的主要挑戰之一。在諸多電力生產風險中，電力成本的波動是影響電力生產穩定安全的主要風險因素之一。在考慮環境因素和經濟波動的前提下，制定低風險、成本可控的電力生產計劃尤為重要。此外，由于發電所需的基礎設施建設時間成本和經濟成本巨大，制定具有魯棒性的電力生產計劃對于人口較多、電力需求高速增長的發展中國家來說更為重要。

國際上對電力生產計劃的研究通常定義這一問題為在一定風險水平約束下，求解最小期望發電成本的問題。通常以均值—方差投資組合模型來刻畫這一問題，以不同發電技術發電成本之間的協方差矩陣來刻畫風險。均值—方差的投資組合模型最早被Markowitz(1959)提出，他用投資組合的回報均值表示收益，投資組合的收益方差表示風險，并將均值—方差模型分為風險最小化問題和收益最大化問題[1]。Sharpe(1994)將均值—方差優化模型轉化為夏普比率最小化問題[2]。由均值—方差模型得到的最優投資策略對輸入參數的擾動非常敏感，而目前投資組合優化方法在電力計劃中的應用研究主要集中于對確定情形的研究，較少考慮參數變動的風險，使用魯棒優化方法的研究則更少。Huang和Wu(2007)提出了以最小化總發電成本現值為目標的效用函數，并在其中以規避因子為權重引入風險，規避因子的大小可以根據投資者風險偏好的大小進行調節[3]。Delarue等人(2010)提出了考慮最小化成本和風險兩個目標函數的二次規劃優化模型，并引入每種發電方式的技術約束，以尋求某一特定發電量和成本下的電力技術組合[4]。Zhu和Fan(2010)將投資組合理論應用在中國2020年中期電力生產規劃的問題中，考慮在幾種確定的情景下電力生產組合的帕累托最優，其中包括考慮碳排放約束的情景[5]。Gao等人(2014)利用投資組合方法對中國的能源系統進行優化，考慮了清潔能源的學習曲線效應，化石能源成本增長的特點以及煤炭燃燒的環境成本等[6]。Doherty等人(2008)提出了求解發電組合中每種發電技術裝機容量的最小成本算法，在投資組合方法中引入香農—維納指數以增強模型的魯棒性，避免了對未來變化預測的不準確性[7]。Costa等人(2017)在電力生產規劃中引入魯棒投資組合優化的方法，提出了3種魯棒電力生產組合模型，以達到平準化成本和風險的最小化，并在求解巴西電力組合規劃的問題上得到實際的應用[8]。

本文考慮成本風險的不確定性，設計了一種魯棒電力生產計劃模型，并給出了多項式時間求解的魯棒表達和算法，以國家《電力發展“十三五”規劃》和實際電力數據為基礎進行了計算實驗。實驗結果表明，本文提出的方法能有效解決電力生產計劃問題，能夠給出更具有魯棒性的風險控制和合理的成本估算。本文的方法和結果對政府規劃者制定電力生產計劃有重要的參考價值。文章的結構如下：第一節構建了魯棒電力生產計劃問題的數學模型；第二節對魯棒電力生產計劃模型的可求解的魯棒表達進行推導，并設計了一種多項式時間算法對該魯棒表達進行求解；第三節通過計算實驗說明了本文提出方法的有效性；第四節是總結全文。

1 問題描述與數學模型構建

本文研究的電力生產計劃問題是在一定風險水平約束下，以得到最小期望發電成本為目標的最優電力生產組合問題。該問題滿足如下假設條件：

(1)現有發電設施均繼續投入使用，不移除或停產，模型得到電力生產組合均來自于新建的發電設施；

(2)只考慮煤電和氣電的碳排放成本，其他發電技術的碳排放成本忽略不計。

根據以上描述，該問題的數學模型可表示如下：

(1)

(2)

〈1n,ω〉=1

(3)

ω∈[l,u]

(4)

式中：〈·,·〉表示Rn空間中兩向量的內積；1n表示各元素均為1的n維向量。

1.1 集合

I={1,…,n}：發電技術種類集合。

1.2 參數

c=(c1,…,cn)T：其中ci,i∈I表示新建發電技術i的期望成本；

θ2：允許的風險水平，θ表示標準差，可根據求解需要自由調節；

u=(u1,…,un)T：其中，ui,i∈I表示新建發電技術i的投產比例上界；

l=(l1,…,ln)T：其中，li≥0,i∈I表示新建發電技術i的投產比例下界。

1.3 變量

ω=(ω1,…,ωn)T：其中，ωi,i∈I表示新建發電技術i的投產比例，屬于連續決策變量。

1.4 目標函數

目標函數為最小化電力生產組合的總期望成本〈c,ω〉。

1.5 約束條件

式(2)～(4)為電力生產計劃模型的約束條件，分別為風險約束、比例約束和投產界限約束：

(1)風險約束：如式(2)所示，發電技術組合的成本波動風險必須保證在一定水平以下。

(2)投產比例約束：如式(3)所示，各種發電技術在投產組合中的比例之和為1。

(3)投產界限約束：如式(4)所示，各種發電技術的投產比例必須滿足相關政策文件給出的限制。

2 電力生產計劃模型的可求解魯棒表達與求解算法設計

2.1 電力生產計劃模型的可求解魯棒表達

(5)

或：

(6)

‖g(ω)‖≤θ2

(7)

因為g(ω)≥0，故當且僅當存在非負向量x使g(ω)≤x成立時，對所有xj≥gj(ω)，使得‖g(ω)‖≤‖x‖。因此，式(7)可轉化為下面的(8)-(10)式。

‖x‖-θ2≤0

(8)

(9)

x≥0

(10)

得到可求解的魯棒模型：

s.t. ‖x‖-θ2≤0

〈1n,ω〉=1,ω∈[l,u]

x≥0

2.2 求解算法設計

可求解的魯棒電力生產計劃問題(P)是一個帶二次非線性約束的數學規劃問題，可在O(1/ε)的時間復雜度下得到該模型的ε近似最優解。

首先，對模型(P)進行增廣Lagrangian松弛，得到原問題等價于如下鞍點問題：

φ1(x,p1)+φ2(x,ω,p2)+φ3(ω,p3)

其中：

(11)

(12)

(13)

根據一階原始對偶的分解協調算法，可用如下原始對偶過程對(SP)進行求解：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

算法1：魯棒電力生產計劃問題(P)的求解算法

輸入：1.1中的發電技術種類集合；1.2中所有參數；最大迭代次數K。

輸出：電力生產組合方案，即允許風險水平下求得的ω；電力生產組合方案的期望成本，風險以及碳排放成本。

Step 2：設置k=0。

Step 3：如果‖ωk+1-ωk‖<ε或k=K，進入Step 7，否則進入Step 4。

Step 4：投影計算：

Step 5：

計算原始問題(ω和x的子問題求解)：

計算對偶問題(乘子調整計算)：

Step 6：準備輸出值：

k=k+1。

返回Step 3。

Step 7：輸出平均值：

算法結束。

3 計算實驗

3.1 數據來源與預處理

本實驗所研究的發電種類根據《電力發展“十三五”規劃》中涉及的我國7種主要發電技術獲得，其中包括氣電、煤電、水電、核電、風電、太陽能發電和生物質能發電，即n=7。

本文以平準化成本c計算每種發電技術的成本，平準化成本由投資成本cI、運維成本cO、燃料成本cF和碳排放成本cE4部分組成[9]，即：

c=cI+cO+cF+cE

(19)

并考慮3種情景下的發電成本協方差矩陣。數據來源與預處理方法如表1所示。

(20)

(21)

本文考慮煤電和氣電的碳排放成本，其他清潔能源的碳排放成本忽略不計。2016年我國煤電機組平均二氧化碳排放強度為890 g/kW·h，燃氣機組二氧化碳排放強度為390.4 g/kW·h[10]。按30元/t CO2的全國平均碳交易價格計算得煤電的碳排放成本為0.026 7元/kW·h，氣電的碳排放成本為0.011 7元/kW·h，分別計入煤電和氣電的平準化成本。

表1 數據來源與預處理

利用同樣的方法可計算得到2011—2015年7種發電技術的平準化成本。同時，利用擬合函數擴大樣本量，以防止標準差過小影響模型的計算。

如圖1所示，通過描點可觀察到成本和年份之間大致呈線性關系。假設發電技術i的平準化成本ci和年份y之間的函數關系式如下：

ci=aiy+bi+ei

(22)

式中：系數ai和bi是未知數；ei是誤差。定義一個損失函數：

Qi=∑ei2=∑(ci-aiy-bi)2

(23)

利用最小二乘法使Qi達到最小，解得ai和bi的值，即可得到ci和y之間的函數關系式，以此求得2017—2020年發電技術i的成本數據。將2011—2020年7種發電技術的平準化成本輸入MATLAB軟件，利用std函數即可求得情景1下的標準差σ1。

圖1 2011—2016年平準化成本

根據表1中的數據來源與處理方法，得到七種發電技術的平準化成本c和情景1下的標準差σ1如表2所示。

表2 平準化成本c(元/kW·h)和情景1下的標準差

目前尚未在已有研究中找到國內發電技術平準化成本統一的計算方法，但找到了將全球發電平準化成本數據用于電力管理的方法。在本文中建立了發電技術平準化成本的計算方法，并計算出中國的發電平準化成本(見表2)，與2016年全球發電平準化成本的平均水平作比較，兩者基本接近，如表3所示。

表3 實驗計算結果與全球平均水平對比(元/kW·h)

同時，利用MATLAB軟件的corrcoef函數計算得到7種發電技術的成本相關系數矩陣r如表4所示。根據《電力發展“十三五”規劃》在2020年的電力工業發展目標和對不同發電技術投產比例的限制，得到約束：l≤ω≤u，其中，l=[0.093 6 0 0 0.066 0.168 1 0.144 7 0]T,u=[1 0.425 5 1 1 1 1 1]T。

將表2中的標準差σ1和相關系數矩陣r代入式(24)可計算得情景1下發電成本的協方差矩陣ψ1，如表5所示。

ψ1=(σ1Tσ1)r (24)

表5 情景1下發電成本的協方差矩陣

以情景1為基準，以10%～15%為輕微變化，以20%～25%為中等變化，以30%～40%為劇烈變化，結合實際定性分析得到其他兩種情景下的標準差變化情況，從本文角度反映了中國電力發展的一些可能趨勢：

(1)情景2的標準差σ2變化情況：“十二五”期間，我國頁巖氣勘探開發取得重大突破，為“十三五”產業化大發展奠定了堅實基礎，我國將進一步擴大天然氣的自產比例和發電比例，天然氣的價格也將更少受到國際燃氣價格波動的影響[11]。因此考慮氣電的成本標準差將出現劇烈的變化，下降30%；2017年，因為很多省市小水電站開發強度過大和無序開發問題突出，中央環保督查組為減少河道減水或斷流的生態影響，關停了多地小水電[12]。水電雖然符合清潔能源的需求，但其隱藏的生態治理成本在逐漸提高，因此考慮水電的成本標準差將出現中等程度的變化，上升20%，其他不變。

(2)情景3的標準差σ3變化情況：2017年下半年以來，隨著電力、化工、建材等高耗煤行業的復蘇推高煤炭需求，整體煤炭市場供需處于“緊平衡”的狀態，由此導致煤炭價格有所回升，并維持高位震蕩。煤炭價格作為影響煤電成本的重要因素，必將引起煤電成本的不穩定性。因此考慮煤電的成本標準差將出現中等程度的變化，上升25%；中國政府提出，2020年全社會用電量中的非水電可再生能源電量比重指標要達到9%，2016年風力發電量只占全部發電量的4.5%，距離目標還有較大的發展空間，同時基于電力產能過剩和限電難題，預計未來三年，中國風電市場將保持理性的規模增長，兼顧增量規模與存量效益。同時，我國在風力發電技術方面已擁有了100%自主的知識產權和獨立研發的機組，風力發電的技術成本將趨于穩定[13]。因此考慮風電的成本標準差將出現輕微的變化，下降10%；生物質能發電的原材料分散在廣大農村，收集儲運費用未統一，人力成本上漲，會導致成本波動且居高不下。“十三五”規劃及《國家創新驅動發展戰略綱要》中，國家要發展生態綠色高效安全的現代農業技術，推動農業機械化，規模化發展，提高農業效率，有利于生物質能發電行業規模收購原材料，降低運輸成本，同時也有助于緩解生物質資源的季節性、分散性與生物質能利用的連續性、集中性的矛盾[14]。因此考慮生物質能發電的成本標準差將出現輕微的變化，下降15%，其他不變。

同理，可計算得情景2和情景3下發電成本的協方差矩陣。

3.2 實驗分析

以上一小節中的數據為基礎，本文首先對魯棒優化模型與確定模型的性能進行比較分析，接著對魯棒電力生產計劃中是否考慮碳排放成本兩種情況進行比較分析，比較內容包括不同風險水平下的總期望成本、風險和電力生產組合方案，其中風險是指生產組合方案ω使總成本偏離期望值的可能性，此處的風險通過在假設3種情景發生概率相同的情況下將3種情景下的方差計算均值求得。最后對不同的電力生產組合方案展開比較分析。

3.2.1 魯棒優化模型與確定模型的性能比較分析

將只考慮一種情景(情景1)的均值—方差組合模型作為確定模型，代入相同的數據與魯棒優化模型進行對比：

圖4 兩種模型在不同允許風險水平下的電力生產組合方案對比

圖2 兩種模型的期望成本—允許風險對比圖

圖3 兩種模型的風險對比圖

如圖2，3所示，當允許風險水平(標準差)在0.2～1.2的范圍內，相比于確定模型的最優解，魯棒優化模型的解雖然會使電力生產組合方案的期望成本平均提高2.36%，但能使成本風險平均減少27.05%，后者是前者的11.5倍。說明魯棒優化模型能有效對抗電力生產組合的成本風險。

選擇電力生產組合時應考慮風險和成本的平衡。中國電力體制改革強調安全可靠的基本原則，因而電力生產決策者采取風險規避的態度。因為魯棒優化模型對風險的降低作用遠超成本的增加，所以魯棒優化對決策者是更優的選擇。

對兩種模型在不同允許風險水平下的電力生產組合方案進行對比，得圖4。

如圖4所示，當允許風險水平(標準差)在 0.2～1.2 的范圍內，相比于確定模型的電力生產組合方案，魯棒優化模型的電力生產組合方案中成本較低但風險較高的煤電比例平均減小23.66%，而成本較高但風險相對較低的水電比例平均提高35%。在兩種模型中，其他發電技術的比例均保持不變且相同。

3.2.2 對魯棒電力生產計劃中是否考慮碳排放成本兩種情況比較分析

如圖5，6所示，當允許風險水平(標準差)在0.4～1.2的范圍內，考慮碳排放成本會使電力生產組合的期望成本平均提高0.18%，但成本風險則平均降低4.53%，后者是前者的25.2倍。碳排放強度平均降低5.1 g CO2/kW·h。說明在決策中考慮碳排放成本雖然會略微增加期望成本，但能有效降低電力生產組合的成本風險和碳排放強度，對規避風險的中國電力生產決策者來說是更優的選擇。

圖5 兩種情況的期望成本—允許風險對比圖

圖6 兩種情況的風險對比圖

對兩種情況在不同允許風險水平下的電力生產組合方案進行對比發現：當允許風險水平(標準差)在0.2～1.2的范圍內，在魯棒電力生產計劃中，相比于不考慮碳排放成本的生產組合方案，考慮碳排放成本會使CO2排放成本較高的煤電比例平均減小2.22%，無CO2排放成本的水電比例則平均提高2.27%。兩種情況下其他發電技術的比例依舊保持不變且相同。水電的成本比含有碳排放成本的煤電成本高，所以圖5中考慮碳排放成本后得到的期望成本不降反升。

3.2.3 不同電力生產組合方案的比較分析

本文選取“十三五”規劃給出的參考解、確定模型最優解和魯棒優化解3種電力生產組合方案，在考慮碳排放成本并控制期望成本相同的情況下對比每種方案的風險和碳排放成本，得表6。

表6 不同電力生產組合的各項指標對比

如表6所示，確定模型最優解和魯棒優化解比“十三五”規劃的參考方案具有更低的風險和碳排放成本，且魯棒優化解在確定模型最優解的基礎上，通過降低煤電比例1.01%和提高水電比例1.01%，使風險和碳排放成本比確定模型最優解分別降低0.280 1和0.0 00 9元/kW·h。

4 結論

本文考慮成本風險的不確定性，設計了一種魯棒電力生產計劃模型，并給出了多項式時間求解的魯棒表達和算法，以《電力發展“十三五”規劃》和實際電力數據為基礎進行計算實驗。通過實驗分析，得到如下結論：

(1)針對電力生產計劃問題，本文提出的魯棒模型相對于傳統模型能得到更具有魯棒性的電力生產方案，在一定程度上增加電力生產組合的期望成本，但能有效降低該組合的成本風險。

(2)在考慮碳排放成本的情況下，適當增大水電的投產比例，減小煤電的投產比例能在發電成本風險上有效提高中國電力結構的穩定性和安全性，并減小碳排放成本。