找好鋪墊 使學生的思維升級
——以“兩點距離”型試題的命制為例

/黃 偉 王宗信

數學試題的命制不能一味以難為準，命題除了考查學生對學科知識和能力的掌握外，還要利于學生學科素養的形成。為此，我們可以在命題中加上一些鋪墊，逐步使學生的思維升級。現以“兩點距離”型試題的命制為例，說明具體的做法。

例 1：如圖1-1，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，△ACD是等邊三角形，DF⊥AC、垂足為F、與AB相交于點E，連接CE。

（1）證明：△AED≌△CED；

（2）P是直線 DE上的一點（圖1-2），連接PB、PC。

①求證：PA=PC；

②若AB＝10，PB+PC是否有最小值，若有求出此時PB+PC的值，若沒有請說明理由。

圖1－1

圖1－2

適用范圍：在八年級上學期學生初學全等三角形、軸對稱圖形后，結合七年級所學的“三角形的兩邊之和大于第三邊”以及“兩點之間線段最短”，就可以在月考、期中考試使用這個系列的題組進行訓練、考試。

命制思路：首先是考查學生對于等邊三角形的軸對稱性掌握情況，試題中“△ACD是等邊三角形，DF⊥AC、垂足為F”考查了等腰三角形底邊上的三線合一，可以得到直線DF是線段AC的垂直平分線，再根據垂直平分線的性質“垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”，易證△AED≌△CED，此處考查了學生全等三角形判定的學習情況。

直線DF是本題一條關鍵的直線，它貫通整個圖形，它是對稱軸，有了問題（1）的解決，問題（2）的求證只需利用垂直平分的性質便迎刃而解，同時也為解決最后一個問題起到了一個很好的鋪墊。

利用前一問題中得到的結論，等量代換PB+PC=PB+PA，P 是動點，如圖1－3當 A、P、B三點不共線時，△APB 中有 PB+PA＞AB（三角形的兩邊之和大于第三邊），而A、B兩點是定點，PB+PA就轉化為兩定點間連線的長，其長度何時最短可以根據基本事實“兩點間線段最短”來解決，當且僅當A、P、B三點共線時（即P為直線DF與線段AB的交點時），PB+PA=AB，結合上述兩種情況的探究可以得到PB+PA≥AB。

圖1－3

在解決本題的過程中，需要考查學生靈活運用軸對稱的性質，在變化的過程中尋找到那些不變的關系，巧妙實現直線（對稱軸）同側的兩條線段之和轉化為對稱軸異側兩定點之間連線線段最短的轉化，有助于積累數學活動經驗，發展空間觀念。本題的命制體現了對學生認知的尊重，以人為本，遵循呈現低起點、易進難出、漸入佳境的原則。

上題是利用軸對稱性作一次對稱點，利用對應線段相等，把在對稱軸同側的兩點距離轉化為“對稱軸異側兩點間線段最短”解決問題，有的時候，一次對稱不能完成任務，需要兩次對稱，如例2。

例2：已知∠AOB，P為其內部一點，OP=6，C、D分別為 OA、OB邊上的一動點，要使△PCD的周長最小，請給出確定點C、D位置的方法，并求出最小周長。

（1）如圖2-1，若∠AOB=45°，其他條件不變，要使△PCD的周長最小，請給出確定點C、D位置的方法，并求出最小周長。

圖2－1

（2）若∠AOB=30°，其他條件不變，要使△PCD的周長最小，請給出確定點C、D位置的方法，并求出最小周長。當∠AOB=60°時，又如何呢？

適用范圍：在八年級上學期學生初學全等三角形、軸對稱圖形，特別是等腰三角形的性質之后，結合七年級所學的“三角形的兩邊之和大于第三邊”以及“兩點之間線段最短”，就可以在月考、期中考試、期末考試乃至中考使用本題組進行訓練、考試。

命制思路：三角形的周長就是三角形三邊的長相加，即△PCD的周長=PC+CD+PD，由于C、D分別為OA、OB邊上的一動點，所以三邊長均處于變化之中，也就是該三角形三個頂點中有兩個頂點在移動、三條邊都在變化，考查學生如何發現在變化的過程中那些不變的關系，要想盡辦法使動點處于兩個定點之間的連線上，這就是考查學生空間想象能力。

點P是定點，那就還要在兩個動點所在的路線上做文章，把動點所在的直線作為對稱軸，作定點P關于對稱軸的對稱點就可以實現上述兩個目標。如圖2-2，∠AOB=45°，作點P關于直線 OA 的對稱點 P′，連接 P′C，則有 P′C=PC，再作點P關于直線OB的對稱點P′′，連接P′′D，則有 P′′D=PD，這樣可以把△PCD 的周長轉化即 PC+CD+PD=P′C+CD+P′′D，這樣三角形的周長就轉化兩個定點P′與P′之間的連線長，根據“兩點之間線段最短”，連接線段P′P′′如圖2-3，當點C移動到線段P′P′與直線OA的交點C′處，點D移動到線段P′P′′與直線OB的交點 B′處時，PCD 的周長就是線段 P′P′′的長，此時根據軸對稱性∠P′′OD=∠POD，且∠P′OC=∠POC，繼而∠P′OP′′=∠P′′OD+∠POD+∠POC+∠P′OC=2（∠POD+∠POC）=2∠AOB=2×45°=90°，另外，再根據軸對稱的性質知道 P′O=PO=P′′O，此時的△P′OP′′是等腰三角形，可以求出線段P′P′′的長。同樣的思路適用于問題（2）。

圖2－2

圖2－3

實際上，本題可以推廣到一般的情況，得到一個定理：△P′OP′′是等腰三角形，∠P′OP′′=2∠AOB，線段 P′P′′的長是△PCD 的周長最小值。可以命制∠AOB是直角或者鈍角的題這樣使本題的數學價值發揮到極致，也有助于幫助學生在“做數學”的過程中領略數學之美之巧之妙，提升其數學素養。

學生在“做”中感悟軸對稱圖形的數學本質，然后再通過圖形的運動確認或者用綜合法論證探索得到結論。用圖形運動的方式確認探索得到的結論，有利于不斷發展學生對圖形直觀把握的能力，逐步形成一種審視、處理問題的方式。將探索和證明有機地結合在一起，可以引導學生不斷地感受證明是探索活動的自然延續和必要發展，知曉合情推理和演繹推理都是人們正確認識事物的重要途徑。