借助直觀，將學生的思維引向深處

李鵬

容器中有某種濃度的藥水，加入一杯水后，容器中藥水的濃度為25%，再加入一杯藥粉，容器中藥水的濃度為40%。原來容器中有幾杯藥水，濃度是多少？

該題是在教學濃度問題后，在配套練習中設計的一道思考題。該題有一種直觀解法：把加入一杯藥粉后的藥水平均分成10份，其中4份是藥粉（占40%），6份是水。（圖1）

用△表示藥粉，用□表示水。加入藥粉前，濃度為25%，也就是藥粉與水之比是1∶3，因此可以是2個△和6個□。這樣就知道加入的一杯藥粉是2個△（圖中圈出部分），一杯水就是2個□。因此，原來容器中有2個△和4個□。也就是3杯藥水。濃度是2÷（2+4）×100%=33.3%。

初步感知方法后，有學生提出原題中“再加入一杯藥粉，容器中藥水的濃度為40%”這個條件是多余的，并用圖2加以說明。加入一杯水后，容器中藥水的濃度為25%，藥粉與水的比是1∶3，一杯水是一個□，用逆推的方法將這杯水取出，即可求出問題。以上過程雖然是錯誤的，但是充分展示了學生的思維過程。我們應當及時讓學生去辨析，幫助學生清理障礙：加入一杯水后，容器中藥水的濃度為25%，藥粉與水的比是1∶3，還可以是2個△和6個□，如果一杯水是一個□，用逆推的方法將這杯水取出，藥水的濃度約是28.6%……在解完一個或一批題目后，能夠作一些更進一步的思考，或找出一些普遍的規律，或歸納提煉出某些一般方法，弄清問題的關鍵和本質，這比糊里糊涂地解幾道題甚至幾百道題更加有益。

培養學生的數學核心素養，僅靠淺層次的課堂教學是無法順利完成的。在小學數學課堂練習中，教師應適當安排有一定思維深度（不等于難度）的習題，幫助學生提升思維水平和解題能力。筆者在教學這類習題的過程中，運用“圖形模擬”的數學思想方法，使習題內容具體化、形象化，可以使學生理解題意，明確數量關系，理清解題思路，進而很快地得出解法。

（作者單位：南京師范大學蘇州實驗學校 責任編輯：王彬）