基于度量視域，發(fā)展空間觀念

張炎伙

如何培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念？首先，空間是三維的，是學(xué)生能夠直接感知的真實(shí)存在，而教材呈現(xiàn)的卻是“具有象征意義”的平面形式的“空間”，即把三維空間表達(dá)在二維平面上。因?yàn)槿S和二維的穿梭轉(zhuǎn)化，學(xué)生常常覺得 “空間”抽象晦澀。其次，空間觀念（尤其是高年級以度量為主線的空間觀念）的建立不是一蹴而就的，需要學(xué)生不斷經(jīng)歷觀察、想象、操作、推理、歸納等數(shù)學(xué)化過程，潛移默化、漸次推進(jìn)。下面，筆者將以北師大版五下“長方體的體積”為例，談?wù)勅绾位诙攘恳曈颍l(fā)展學(xué)生空間觀念。

一、由觀察到猜想——積累空間表象

空間觀念是抽象的，它的理解需要建立在形象的空間感知之上，需要豐富的實(shí)物表象支撐。這就需要教師設(shè)計(jì)多維活動，使學(xué)生通過觀察、想象、分析、推理等活動，加強(qiáng)對長方體體積大小和結(jié)構(gòu)的感知與體驗(yàn)，促進(jìn)其形成豐富的直觀表象。

本課教學(xué)從觀察立體圖形、數(shù)體積單位開始，讓學(xué)生分別數(shù)出不同形狀的立體圖形的體積，提出問題：你覺得哪些圖形的體積比較容易數(shù)？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)長方體的體積容易數(shù)，將研究的目光聚焦到長方體體積中。接著教師以問題引領(lǐng)教學(xué)：是不是所有長方體體積都用數(shù)？（如長方體冰箱、長方體倉庫的體積）逼迫學(xué)生思考尋找長方體體積計(jì)算的一般方法。接著出示問題：猜想長方體的體積可能與什么有關(guān)。學(xué)生由“長方形面積與長、寬有關(guān)”，想到長方體的體積與長、寬、高有關(guān)，再借助多媒體的直觀演示，讓學(xué)生分別觀察“長方體寬、高不變，改變長;長、高不變，改變寬;長、寬不變，改變高，體積都在變化”的動畫，形成豐富表象經(jīng)驗(yàn)。

本環(huán)節(jié)的教學(xué)意在幫助學(xué)生積累體積的空間表象，突顯體積的度量意義——先用數(shù)學(xué)化的方法對立體圖形進(jìn)行測量，再數(shù)一數(shù)它由幾個相同體積單位累加，最后用“數(shù)”（shù）來表示。在這里，看似簡單的“數(shù)（shǔ）和猜”，實(shí)則有深意，學(xué)生在觀察、分析中，豐富了對體積的表象感悟，使原本模糊、不確定的感知逐漸清晰完整起來——長方體的體積與長、寬、高有關(guān)。

二、由想象到操作——豐富空間思維

在空間觀念的建立中，想象和操作是發(fā)展空間思維的“利器”，在操作前讓學(xué)生先進(jìn)行基于已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的大膽想象，在頭腦中對圖形對象進(jìn)行綜合分析、加工改造更能實(shí)現(xiàn)空間觀念的真實(shí)發(fā)生。

教學(xué)中，教師出示一個沒有標(biāo)注任何數(shù)據(jù)的長方體實(shí)物（為學(xué)生準(zhǔn)備長方體學(xué)具和1 cm3的小方塊），拋出問題：長方體的體積與長寬高有什么關(guān)系？可以怎么知道這個長方體的體積？學(xué)生自然想到在長方體里擺小正方體。此時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察長方體和1 cm3的小方塊展開豐富想象。學(xué)生的表達(dá)可能是“20 cm3，長擺5個，寬擺2個，高擺2層”或“24 cm3，長擺4個，寬擺3個，高擺2層”等。此時的“腦中操作”比“動手操作”更能逼迫學(xué)生對概念本質(zhì)、空間內(nèi)涵進(jìn)行深刻理解，讓接下來的“擺”具備目的性與驅(qū)動力。

在學(xué)生“窮盡所有想象”時，再讓學(xué)生充分操作并填寫數(shù)據(jù)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)一行擺了4個小正方體，擺了3行，底面積是12 cm2，高擺了2層，長方體的體積便是24 cm3。通過觀察數(shù)據(jù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個長方體的體積剛好為長×寬×高。可是一個例子就能總結(jié)出這樣的規(guī)律嗎？請每個小組再擺出一個長方體，記錄數(shù)據(jù)，全班匯報(bào)，發(fā)現(xiàn)每組擺出的長方體的體積都等于長×寬×高。教師出示問題：在小正方體不夠的情況下，你能想辦法測量出長方體盒子的體積嗎？學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)：只擺最底下一層，再擺出高就能知道體積。甚至有學(xué)生發(fā)現(xiàn)只擺出長寬高的框架或在頭腦中想象出長方體的模型，就能推算出所需小正方體的塊數(shù)，進(jìn)而得到體積。

教師巧妙設(shè)問：長方體體積=長×寬×高，那長、寬、高分別表示什么？學(xué)生結(jié)合直觀圖形自然建構(gòu) “長方體的長代表每排個數(shù)”“長方體的寬代表排數(shù)”“長方體的高代表層數(shù)”的本質(zhì)聯(lián)系。

本環(huán)節(jié)教學(xué)從頭腦想象到實(shí)踐操作，讓學(xué)生基于問題驅(qū)動，在頭腦中主動調(diào)動“數(shù)體積”“搭長方體”的經(jīng)驗(yàn)，對沒有任何數(shù)據(jù)的長方體展開豐富想象，在頭腦中進(jìn)行合情推理，形成思維策略，并逐漸產(chǎn)生“擺一擺”的強(qiáng)烈欲望，著力點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生去真想象、真思考、真操作、真分析、真發(fā)現(xiàn)、真歸納，促進(jìn)空間觀念的有效發(fā)展，促進(jìn)學(xué)習(xí)力的真提升。

三、由計(jì)算到度量——提升空間觀念

在長方體體積探究中，“體積公式計(jì)算”是顯性的，“體積單位度量”是隱性的，學(xué)生記住的往往是形式化的公式，而忽視了用度量單位來測量。空間觀念的建立，需要讓學(xué)生不斷進(jìn)行“數(shù)與形”的穿梭轉(zhuǎn)換，由“形”想到“數(shù)”，由“數(shù)”回溯 “形”，理解度量的本質(zhì)內(nèi)涵——選取恰當(dāng)?shù)亩攘繂挝粚D形進(jìn)行度量，進(jìn)而用數(shù)量對圖形中所隱藏的屬性進(jìn)行抽象表達(dá)。

在學(xué)生深刻理解長方體體積計(jì)算公式后，教師提出問題：體積是8的長方體可能是怎樣的？學(xué)生自由表達(dá)：可能是“長4 cm，寬2 cm，高1 cm”“長8 cm，寬1 cm，高1 cm”“長2 cm，寬2 cm，高2 cm”。教師提出問題：三個長方體中，哪個最特別，特別在哪？經(jīng)過這樣的思考過程，“正方體體積等于棱長×棱長×棱長”也就呼之欲出了。接著教師以2個具有思考價值的問題帶領(lǐng)學(xué)生走向深處，問題1：為什么3個長方體形狀不同，體積都一樣？問題2：體積是8的正方體只有“長2 cm，寬2 cm，高2 cm”這一種情況嗎？學(xué)生陷入深深的思考，教師再出示“長2 dm，寬2 dm，高2 dm”的大正方體實(shí)物，并用多媒體展示“長2 m，寬2 m，高2 m”的不同空間的照片，學(xué)生驚訝之余，想到了原來也可以是8 dm3、8 m3。在這樣一次又一次的想象、操作、質(zhì)疑、討論、辨析中，學(xué)生獲得了實(shí)實(shí)在在的感悟，也正是因?yàn)椴粩啾平鼣?shù)學(xué)本質(zhì)的追問，學(xué)生在潛移默化中發(fā)展了空間觀念，受到了極限、變與不變、數(shù)形結(jié)合等思想方法的浸潤，經(jīng)歷了一回科學(xué)理性思考的深度體驗(yàn)。

四、由單一到融通，建構(gòu)空間度量體系

空間觀念的建立需要站在學(xué)科整體化、系統(tǒng)化的高度進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的教學(xué)，幫助學(xué)生主動叩問“知識來自哪里，又將要流向何方”，理清空間知識間的邏輯關(guān)系，通曉知識的前后聯(lián)系，形成強(qiáng)大的遷移力和生長力。

教師借助多媒體課件演示點(diǎn)動成線、線動成面、面動成體，計(jì)量單位的變化，長度、面積、體積度量方法的對比。促使學(xué)生從單向思維中跳出，以縱觀全局的視角在“一維、二維、三維”中自由穿梭，在“長度、面積、體積單位”中輕松轉(zhuǎn)換，在“直尺測量、面積計(jì)算、體積公式”中來回說理。學(xué)生在思考和探究的強(qiáng)大領(lǐng)域中，在直觀動態(tài)的真實(shí)情境中不斷思辨、反復(fù)尋理，實(shí)現(xiàn)了對空間度量的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識。

弗賴登塔爾認(rèn)為：幾何是對空間的把握，這個空間是兒童生活、呼吸和運(yùn)動的空間。為了更好地把握、理解這個空間，兒童需要身處其間，在適切的現(xiàn)實(shí)情境中，經(jīng)歷完整的觀察、猜想、想象、操作、思辨、推理等數(shù)學(xué)化過程，站在更高的度量視域中洞悉度量本質(zhì)、形成結(jié)構(gòu)化的空間理解和把握，自然提升空間觀念。

（作者單位：福建省晉江市安海鎮(zhèn)莊頭小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王彬）