因式分解的另類思路

劉小林

【摘要】分解因式是代數里面重要的一部分知識，但是學生對于如何快速、準確的分解因式有一定的困難，本文結合教學中的常見到的題目并從項數的角度出發，解析快速因式分解的方法。

【關鍵詞】分解因式 ?項數 ?分組分解 ?十字分解 ?雙十字分解

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）51-0137-01

在初中階段，分解因式是代數里面重要的一部分知識，但是學生對于如何快速、準確的分解因式有一定的困難，對此，筆者結合教學中的常見到的題目從項數的角度出發，解析快速因式分解的方法。

一、當多項式有兩項時：

當多項式有兩項時，無非是提取公因式或用平方差公式、立方和公式、立方差公式。

例1：分解因式：①ab+bc ? ?②a2-b2 ? ③a3+b3 ? ? ?④a3-b3

分析：①提公因式法：原式=b（a+c）

②平方差公式：原式=（a+b）（a-b）

③立方和公式：原式=（a+b）（a2-ab+b2）

④立方差公式：原式=（a-b）（a2+ab+b2）

二、當多項式有三項時：

多用完全平方公式、十字相乘法。

例2：分解因式：①a3+2a2b+ab2 ?②x2+4x+3

分析：①先提公因式，再用完全平方公式分解

原式=a（a2+2ab+b2）=a（a+b）2

②十字分解法

原式=（x+1）（x+3）

三、當多項式有四項時：

多用分組分解法，常見的有二二型、三對一型或一對三型。

例3：分解因式：①ax+ay+bx+by ②a2+2a+1-b2

③b2-a2-2a-1

分析：①二二型

原式=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）

②三對一型

原式=（a+1）2-b2=（a+1+b）（a+1-b）

③一對三型

原式=b2-（a+1）2=（b+a+1）（b-a-1）

四、當多項式有五項時：

多用分組分解法或雙十字相乘法，常見的有“二、三型”或“三、二型”。

例4：分解因式：①4x2-9y2+6x+3y+2

②x4+x3+6x2+5x+5

分析：①雙十字相乘法

原式=（2x+3y+1）（2x-3y+2）

②雙十字相乘法將x4+x3寫成x（x+1）x2，6x2+5x寫成（6x+5）x。

→x+5x+5=6x+5

所以原式=（x2+5）（x2+x+1）

五、當多項式有六項時：

多用分組分解法或雙十字相乘法，常見的有“三、三型”或“二、二、二型”。

例5：分解因式：①ab+ac+mb+mc+nb+nc

②a2-2a+1-b2-2by-y2

③2x2+xy-y2-4x+5y-6

分析：①“二、二、二型”

原式=a（b+c）+m（b+c）+n（b+c）=（b+c）（a+m+n）

②“三、三型”

原式=（a-1）2-（b+y）2

=（a-1+b+y）（a-1-b-y）

③∵2x2+xy-y2=（2x-y）（x+y）

→-4x+5y

∴原式=（2x-y+2）（x+y-3）

六、除此之外，還常用待定系數法、添拆項法，值得一提的是用因式定理和綜合除法。

例6：分解因式x2+2x3-9x2-2x+8

分析：觀察系數可知x=±1時，多項式的值為0.則多項式含有因式（x+1）（x-1），利用綜合除法可得原式=（x+1）（x-1）（x+4）（x-2）。

綜上所述，總結因式分解的思路和解題步驟：1.先看各項有無公因式，若有公因式，則先提取公因式;2.再看能否使用公式法，對于二項三項式還能看能否利用十字相乘法;3.四項或四項以上的多項式，可考慮用分組分解法，有時需要添拆項; ?4.可用換元法、雙十字相乘法、待定系數法等來因式分解。因式分解注意事項：1.看清指定范圍內分解到不能再分解為止。2.忌盲目下手，應根據項數特點來進行。3.最后相同因式應寫成冪的形式并審查每個因式是否還可以繼續分解。