敢于放手 無問西東

郭新俊

[摘? 要] 求線段和最小值問題是初中階段的重要考點也是難點. 文章旨在解決一個含三個動點的線段和最小值問題，利用化動為靜的思想先固定其中一個點，再利用轉化的數學思想將其轉化為含兩個動點的線段和最小值問題[1]，最終依托點與直線的連線中垂線段最短得以解決.

[關鍵詞] 線段和;對稱點;垂線段;轉化

在學習完蘇科版八年級上冊第二章軸對稱圖形時，一天數學課代表來辦公室咨詢一個含有三個動點求線段和最小值問題. 從學習新課到講解習題課，學生遇到的多是含一個動點或者兩個動點的線段和最小值問題，像這種含三個動點的線段和最小值問題，對于學生來說難度過大. 但筆者所帶的這個班級學生基礎較好，能力較強，有好幾個對數學十分感興趣的學生建議將此題拿到班級講解. 恰逢筆者所在學校的教研組正實施初中數學“綜合與實踐”教學的校本化研究，需要筆者開設一節活動課，于是經過一段時間的構思，筆者在校內上了關于此題的一節活動課，現將其部分課堂實錄及一些不太成熟的思考整理出來，請同仁們批評指正.

教學實錄

1. 原題呈現

教師先用幾何畫板出示題目，請同學們先思考.

如圖1，請在△ABC的三邊AB，AC，BC上分別確定一點E，F，D，使△DEF周長最小.? （學生思考幾分鐘基本上一臉茫然）

[圖1][B][C][A]

2. 洞察本質

師：求三角形周長最小值在數學中屬于什么問題？

生1：線段最小值問題.

生2：線段和最小值問題.

師：補充得很好，解決這類問題最終的落腳點在哪里？

生3：兩點之間線段最短.

師：正確，還有補充的嗎？

生4：點與直線的所有連線中，垂線段最短.

師：非常好.

3. 經驗回顧

師：請你寫出以前學過的類似的問題并思考解決方案. （學生思考并在學習單上書寫共5分鐘）

生5：我想到的是“將軍飲馬”問題，如圖2，在直線l上找一點P，使得PA+PB最小.

[圖2][l][A][B]

師：非常好，你是如何解決這個問題的？

生5：如圖3，作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，點P即為所求.

[圖3][l][A][B][P][A′]

師：很好，你是怎么想到的？

生5：兩點之間線段最短.

師：能具體展開解釋嗎？

生5：額……

生6：這里有個轉化的數學思想，通過對稱變換將同側PA+PB轉化為異側PA′+PB，從而實現兩點之間線段最短.

師：非常棒，請坐. 哪位同學能解釋為什么此時PA+PB就是最小的？

生7：如圖4，在直線l上任意取一點P′，根據兩點之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊易證：A′B

[圖4][l][A][B][P][A′][P′]

師：好，思維很縝密. 還有想到別的問題的嗎？

生8：我想到的是這樣一個題目：如圖5，點P在∠AOB內部，在OA，OB上分別找一點M，N，使得△PMN周長最小.

[圖5][A][B][P][O]

師：這是一個含有兩個動點的線段和最小值問題，你如何解決這個問題？

生8：如圖6，過點P分別作OA，OB的對稱點P1，P2，連接P1P2分別交OA，OB于點M，N. 點M，N即為所求.

[圖6][A][B][N][O][M][P][P2][P1]

師：生8找到的△PMN的周長是不是最小，為什么？

生9：是的，如圖7，在OA，OB上再分別任意找一點M′，N′，根據兩點之間線段最短不難說明PN′+M′N′+PM′>PP，而PP的長即為△PMN的周長.

師：兩位同學說得都非常好，那你們有誰能告訴我，為什么要向兩邊作對稱點？

生9：記模型背公式. （全班一陣歡笑）

師：還有哪位同學有想法的？（全班陷入一片寂靜）

師：還記得剛才在解決將軍飲馬問題時所考慮的數學思想方法嗎？（有幾個學生在下面小聲答道：轉化）

師：對，就是轉化，這時我們也可以將它轉化為將軍飲馬問題，再想想. （這時有一位同學很激動地舉起手）

生10：如圖8，先在OB上任意找一點固定為N，此時問題就轉化為了將軍飲馬問題，原△PMN的周長就是圖9中線段PN+PN的和. 由于點N1位置的任意性，也可以另取一點N，如圖10，此時原△PMN的周長就是圖中線段PN+PN的和，這樣的點N有無數個.

[圖8][A][B][P][O][N1]

[圖9][A][B][P][O][N1][M1][P2]

[圖10][A][B][P][O][N1][M1][P2][N2][M2]

師：這位同學給我們做了一個十分漂亮的轉化，但是問題還是沒解決??！少年們還需努力啊?。ㄍ瑢W們都被逗樂了）

師：現在把OA擦去，如圖11，你有新的發現嗎？

生11：原△PMN的周長最小就是求在OB上找一點N，使PN+PN最小，這又是將軍飲馬問題，作法如圖12. 作點P關于直線OB的對稱點P，連接PP交直線OB于點N，交直線OA于點M，點N，M即為所求，如圖13.

師：非常好，此處應該有掌聲?。ㄈ喙恼疲?/p>

4. 解決問題

師：同學們，回顧以上求解過程，帶著解題經驗讓我們來看今天的問題，你有什么新的想法？

生12：本題有三個動點，我們也可以像剛才一樣先在BC上固定一個點D，原題就變成在AB，AC上分別確定一點E，F，使△DEF周長最小，從而變成了生8想到的那個題目. 作法如圖14，作點D關于直線AB，AC的對稱點M，N，連接MN，線段MN的長就是所求三角形的周長. 當然這樣的D也不止一個，還可以找D，如圖15，線段MN的長就是所求三角形的周長. 也就是說，求三角形的最小周長就是找一條最短的線段MN，這是我想到的.

師：說得太好了，他用了一個類比的數學思想帶我們朝著目的地前進了一大步. 正如他所說，求三角形的最小周長就是找一條最短的線段MN，如何找呢？（同學們又一次陷入了疑云中）

師：我們先思考以上那些線段MN有什么共同之處？先獨立思考完，小組之間交流一下. （同學們進入激烈的討論中，此時教師在巡視的過程中依然沒有發現有價值的成果）

師：請同學們看一下我們曾經做過的這個題目，對你有什么啟示？（此時教師利用多媒體呈現了一道學生作業中的習題）

習題呈現：如圖16，∠AOB及平面內一點P，試畫出點P關于直線OA的對稱點P1，再畫出點P關于直線OB的對稱點P2，在畫圖的過程中你有什么發現？

[圖16][A][O][B][P]

生13：我想起來了，把所有的點M和N都和點A連接起來，如圖17，這樣就得到了無數個以線段MN為底邊的等腰三角形.

[圖17][B][D1][C][N1][A][M1][D2][N2][M2]

師：很好，還有補充的嗎？

生14：這些等腰三角形的頂角都一樣大，都等于∠CAB的兩倍.

師：棒極了，還有嗎？（教師的熱情也被點燃了）

生15：這些等腰三角形的腰長都等于相應的線段AD長.

師：完美，頂角相等的等腰三角形底邊的長短跟哪個因素相關呢？

生16：腰長（齊聲答）.

師：剛才求最短的線段MN就是求什么？

生17：最短的線段AD.

師：線段AD什么時候最短？

生18：垂線段最短（齊聲答）.

師：今天你們的表現真太精彩了……

教學板書

[三動點線段和最小][垂線段最短][轉化][單動點線段和最小

——將軍飲馬問題][兩點之間線段和最小][比較等腰三角形

的腰長][比較等腰三角形

的底邊長][?][雙動點線段和最小][轉化][?][轉化][?][?][?][?][?][圖18]

幾點思考

1. 放手：基于學生學情

本節課上下來，總體上比較流暢. 首先，得力于對學生學情的充分認識和了解. 筆者在備課時，一直都想著這個班學生的知識掌握情況，哪里可以完全放手，哪里需要適當引導都必須提前預設好. 即在經驗回顧環節，筆者成功預設到學生能想到將軍飲馬問題和含兩個動點線段和的問題，這樣就自然調動了學生的積極性和主動性. 這樣的放手就比教師直接給引例讓學生去思考的效果好了許多.

對學情的了解不僅僅是了解全班整體學生的情況，對于每個人的情況也需要關注. 筆者嘗試放手將問題交給全班學生探究，以這樣的方式完成課堂的教學任務完全沒有問題，但是可能會出現一個現象：只有思維好的學生在交流，思維慢一些的學生開始是跟不上節奏，后來就索性沉默，完全是在觀看他們的同學“表演”. 這樣的探究恐怕只能是少數人的探究，也違背了“非獨立不合作探究”的原則. 于是，本著尊重每一位學生，筆者要求在探究之前必須讓所有學生先獨立思考，可以把思考的結果簡要地在學習單上寫出來，然后交流，如果獨立思考有困難，可以直接討論. 這樣一個小的設計，立刻能讓所有的學生都參與進來，而且能得到很多意外的“收獲”. 因為有些學生怯于在全班同學面前表達自己的觀點，而他們很樂意在學習單上寫出來. 記得一次市教研活動上，一位特級教師就強調過：“數學課上要有靜悄悄”. 現在想來的確是這樣，每一個有深度的問題都需要獨立思考時的“靜悄悄”，這也是基于學情進行教學設計的一個重要方面.

2. 放手：基于科學理論

課堂上教師的敢于放手不僅要對學情有充分的了解，更要有一定的科學理論作為指導. 美國著名數學家波利亞在他的著作《怎樣解題》中說：“我們幾乎不可能想出一道全新的題目，它和以前解過的題目既不相像，又無聯系. 而且假如有這樣的題目存在，它也是解不出來的. 事實上，我們在解題時總是得益于以前曾解過的那些題目，應用它們的結果或者方法，或者我們在解答中所獲得的經驗.[2]”正如本節課研究的含三個動點的線段和最小值問題，學生雖然剛開始拿到題目有些茫然，但根據波利亞的解題理論，先思考以前研究過的類似的問題以及解決那些問題的策略和方法，再回頭看問題學生能很快、很自然地想到，將三個動點中的一個動點先定下來，而去考慮另外兩個點，即化動為靜的策略. 這樣的放手，有著理論知識的指導，學生不僅僅學會了這一題的解法，更是學會了遇到新的問題時的思考方法.

3. 放手：基于有效鋪墊

綜合實踐課基本上是以學生的探究活動為主，但教師也不能從頭到尾一味地放手，否則會出現兩種情況，要么離本節課主題越來越遠，要么在某個環節卡住使得探究活動進行不下去，此時教師給予適當的鋪墊就顯得尤為重要. 而這一鋪墊到底該什么時候給，以什么樣的形式給，那就要考驗教師的能力了. 著名的維果斯基的“最近發展區理論”強調：教師應著眼于學生的最近發展區，根據學生認知水平，為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性.

為了靠近學生的最近發展區，筆者認為有效的鋪墊可以是一個追問、也可以是一道學生做過的習題. 就如同本節課在解決含兩個動點的線段和問題時，當被問到為什么要向兩邊作對稱點，同學們都安靜了. 筆者提示性地問“還記得剛才在解決將軍飲馬問題時所考慮的數學思想方法嗎？能否也將其轉化為將軍飲馬問題呢？”這時同學們才恍然大悟. 還有一個地方也是本節課最難攻克的障礙：在解決含三個動點的線段和最小值問題時，當學生已經發現了求三角形的最小周長就是找一條最短的線段MN時，筆者的設計是呈現了一道學生之前做過的關于對稱性質的習題. 雖然學生通過對此題的回憶也順利找到了課上的難題的突破口，但筆者還是感覺有些牽強，提示過于明顯. 即便如此，本節課還是在下課鈴聲響起之后而急急忙忙收尾. 緊接著的研討會上，教研組長問聽課的三十多位老師有多少人當時想到如何找最短的線段MN，統計完也只有一半的老師能想到. 所以對于學生來說，思維的要求有些過高了. 當然，如果本節課在上課時間上做適當的調整，將四十五分鐘改成一個小時或者干脆兩節連上，這樣留給學生更多的思考和探究時間，或許孩子們能給我們帶來更大的驚喜.

參考文獻：

[1]酈興江. 構建模型提煉策略? 層級推進數學思考——以“最短路程問題”為例[J] . 中學數學教學參考，2015（35）.

[2]波利亞. 怎樣解題[M]. 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.