動中求靜，靜中求解

鄒麗虹

[摘? 要] 動點問題一直以來都被中學生視為“攔路虎”，無論是在日常學習中，還是中考時，動點問題都是讓學生頭痛的知識點. 文章以動點問題的特點為切入點，結合實踐探索如何于動中求靜，靜中求解，幫助中學生突破動點問題的重點與難點.

[關鍵詞] 初中數學;動點問題

動點問題為什么常常讓中學生談之色變？首先在于它在中考中的“出鏡率”相當高;其次在于它具有較強的綜合性，解題方法靈活，題型變化多端，對學生數學知識運用能力是一個很大的考驗，學生們常常因為各種失誤而導致解題失敗.

動點問題主要考查學生的直覺能力，以及能夠從諸多變化中準確找到數學實質的洞察力. 動點問題可以讓學生們在猜想、歸納和探究中實現數學思維能力的提升. 但不可否認的是，很多學生也會在動點問題上遇到無法跨越的障礙和瓶頸. 筆者通過多年教學實踐，了解到學生面對動點問題無法進行準確解答的主要原因在于，他們不會“動中求靜”，不能從題目中找到準確的關系式、條件等信息，造成解題困擾. 我們經常用“籮筐”來形容動點問題，因為任何知識都可以裝在里面，結合幾何內容就會變成幾何動點問題，結合二次函數就會成為函數動點問題. 在這些問題中以函數動點問題最為難解，因此本文結合教學實例，重點對函數動點問題進行了詳解，以期讓中學生在面對動點問題時，學會如何于動中求靜，靜中求解.

“一次函數”動點問題

例題設計：如圖1所示，四邊形OABC為矩形，其中點A坐標是（-3，0），點C坐標是（0，1），線段BC上有一與端點B和C均不重合的動點D，過動點D作直線y=+b與折線OAB相交于點E.

[圖1]

（1）如果△ODE面積是S，列出S和b的函數關系式;

（2）當點E在線段OA上，且tan∠DEC=，如果矩形OABC關于直線DE的對稱圖形是OABC，請大家思考兩個圖形重疊部分面積會不會發生變化，如果沒有發生變化那么重疊部分面積是多少？如果發生變化，講一講發生變化的原因.

該類題型是關于動態圖形面積變化的動點問題，解這類題的關鍵在于要先看一看對“面積”變化起決定性作用的幾個量是不是發生了變化. 這類動點問題難度相對較大，區分度比較明顯，對于學生數學思維能力的鍛煉和提升十分有益. 而面對這類動點問題，要教會學生們先對題目進行分析：首先，如果想將△ODE的面積表示出來，那么應該從兩個方面進行討論，一方面點E如果在邊OA上，只要將△ODE底邊OE的長與對應的高，即E點的橫坐標和D點的縱坐標求出，再代入三角形面積公式就可以了;另一方面，點E如果在邊AB上，那么用長方形OABC面積直接減去△BDE、△OCD和△OAE三個三角形的面積就會得到△ODE面積. 接下來對“重疊部分”進行分析，可以確定的是這部分是平行四邊形，這個圖形不變的是上下邊上的高，所以對重疊部分面積會不會發生改變起決定因素的是邊OA上重疊部分的線段長度有沒有發生改變. 分析至此，學生們再回過頭解題，解題過程就會自然流暢.

解：（1）從題中可知四邊形OABC為矩形，點A的坐標是（-3，0），點C的坐標是（0，1），所以點B的坐標是（-3，1）. 如果直線經過點A，那么b=，如果經過點B，b=，如果經過點C，b=1. 那么，當折線OAB與直線交點在OA邊時，1

-b+×3

b-]=b-b2. 所以當1

[圖2]

（2）如圖3所示，假如CB和OA相交于M點，OA與CB相交于N點，那么說明矩形OABC和矩形OABC兩個圖形重疊部分面積就是DNEM這個四邊形的面積，從題中可知DM與NE平行，DN和ME平行，所以可以判定四邊形DNEM是平行四邊形. 結合軸對稱知識就能夠得出∠MED和∠NED相等，又因為∠MDE與∠NED相等，所以∠MED與∠MDE相等，所以MD和ME相等，故DNEM這個平行四邊形是菱形. 過D點作DH垂直于OA，H點為垂足. 根據題意可知=，DH=1，所以HE=2. 假設a是菱形DNEM的邊長，那么在Rt△DHN里，通過勾股定理可以得出a2=（2-a）2+12，所以a=，S=NE·DH=. 故兩個矩形OABC和OABC重疊部分面積不會有變化，面積一直是.

[圖3]

“反比例函數”動點問題

例題設計：如圖4所示，一次函數y=kx+b的圖像經過兩點A，B，坐標分別是（0，-2）和（1，0），它和反比例函數y=的圖像于第一象限內相交于M點，如果△OBM面積是2.

（1）列出反比例函數和一次函數表達式;

（2）P點是否存在于x軸上，且能夠使AM與MP垂直？如果存在請求出P點坐標，如果不存在請說明原因.

[?圖4]

該例題主要是對一次函數和反比例函數交點問題的考查，其中涉及求解析式所用的“待定系數法”、銳角三角函數定義等知識點，只要讓學生對這些知識進行鞏固并熟練掌握，解答這類動點問題就會水到渠成. 因此在引導學生進行分析時，對于問題（1）可以讓他們先根據題中所列出的已知條件，即一次函數圖像經過兩點坐標中可以得出與k，b相關的方程組，然后可以進一步得到一次函數的解析式，再設點M的坐標為（m，n），作垂直于x軸的MD，從“△OBM面積是2”的已知條件中將n值求出，再將M點坐標代入“y=2x-2”中將m值求出，再由M點在雙曲線y=上就能夠將k的值求出，最后將反比例函數解析式求出. 這時再來分析問題（2）就變得簡單了：過M點作與AM垂直并與x軸相交于點P的MP，從MD與BP垂直的條件中可得出∠ABO，∠MBD，∠PMD三個角相等，根據銳角三角函數定義求出OP的值，得到結論即可.

解：（1）因為y=kx+b經過坐標分別為（0，-2）和（1，0）的A，B兩點，所以b=-2，

k+b=0，解得b=-2，

k=2， 因此一次函數表達式為y=2x-2. 假設過M點（m，n）作垂直于x軸的MD，交點為D點. 因為△OBM的面積是2，所以OB·MD=2，n=2，n=4. 所以將M（m，4）代入函數表達式y=2x-2中就會得到4=2m-2. 所以m=3. 因為M（3，4）在y=雙曲線的圖像上，所以4=. 故k=12. 因此反比例函數的表達式是y=.

（2）如圖5，過點M（3，4）作垂直于AM的MP，并與x軸相交于P點，因為MD與BP垂直，所以得出∠ABO=∠MBD=∠PMD，所以tan∠ABO=tan∠MBD=tan∠PMD===2，所以在Rt△PDM中，=2，由此得出PD=2MD=8，OP=OD+PD=11，點P在x軸上，PM與AM垂直，故P點坐標是（11，0）.

[圖5]

從教學實踐中筆者得到這樣的體會，如何幫助中學生克服對動點問題的恐懼，首先要做好學生的心理建設. 其實動點問題中包含著學習和生活的很多哲理，如通過一個數軸示意圖就可以引申到人生維度上，單維度上比長度，雙維度上比面積，三個維度就比體積. 而在現實生活中如果想做好一件事，就要從多個維度來思考，也許在某個維度上你不存在優勢，但如果每個維度都可以提升一點點，那么綜合起來的實力也會擊敗他人. 從這個切入點先給學生們進行心理引導，幫助他們建立起學習的信心. 然后再通過有效的問題分析幫助學生找準解題思路，熟練解題方法，他們就會明白應如何于動中求靜，于靜中求解. 一旦掌握了這個方法，無論是動點問題還是其他數學問題，都能輕松應對.