國外工程中抵償高程面確定方法的研究

喻守剛，李志鵬，余青容，鄧慶海

(1.長江空間信息技術工程有限公司(武漢)，湖北 武漢 430011；2.長江航道規劃設計研究院，湖北 武漢 430040)

1 引 言

隨著國家綜合實力和科技水平的提高，越來越多的企業走出國門，承接國外工程項目。然而，國外很多國家，特別是中美洲、非洲等國家地圖投影采用的是UTM投影，而我國工程項目多采用高斯投影，這兩種投影雖然都屬于等角投影方式，但投影后同一地方的長度變形差異還是較大，而考慮到工程施工的需要，測區范圍內長度投影變形須按《工程測量規范》要求控制在 2.5 cm/km內，這就需要我們對測區進行投影變形計算分析，選擇合適抵償投影面，從而將測區投影變形的最大值控制在最小[1]。目前，國內對高斯投影抵償面進行了較多研究和分析，也有單獨對UTM投影變形和抵償分析的研究[2，3]，但很少有將UTM抵償投影面和高斯抵償投影面進行關系推導和比較分析的研究。

2 高斯投影與UTM投影

高斯投影是由德國數學家、天文學家、物理學家高斯于19世紀20年代設計，后經德國大地測量學家克呂格補充完善，它是一種橫軸等角切橢圓柱投影。見圖1(a)，該投影假設某一橢圓柱體橫切地球橢球體于某一條經線上，按照等角投影方法將中央經線東、西各3°或1.5°經線范圍內的經緯線投影到橢圓柱面上，然后將橢圓柱面展開成平面而成。高斯投影中，中央子午線投影后長度沒有變形，其余經線距中央子午線愈遠，長度變形愈大且變形比均大于1。我國各種大、中比例尺地形圖采用了不同的高斯投影帶。其中大于1∶1萬的地形圖采用3度帶；1∶2.5萬至 1∶50萬的地形圖采用6度帶。

UTM(Universal Transverse Mercator)全稱為通用橫軸墨卡托投影，它屬于橫軸等角割橢圓柱投影，如圖1(b)所示，它和高斯投影一樣屬于正形投影，橢圓柱割地球于南緯80°至北緯84°之間，投影后中央子午線長度比不再是1，而是 0.999 6，兩條割線(在赤道上，距離中央子午線約 ±180 km(約±1°40′))投影后沒有變形，這樣就顯著地減少了投影帶邊緣區域的長度變形，尤其在低緯度地區這種效果更為明顯，因此世界上很多低緯度國家和地區都采用UTM投影。UTM平面直角系與高斯投影相同，且兩者投影坐標有一個簡單的比例關系，因此也是稱它為m0=0.999 6的高斯投影[4]。

圖1兩種投影方式示意圖

3 理論基礎

3.1 高斯抵償投影面的建立

如圖2所示，AB的長度為S，利用三角形相似等比原理，可以獲得測距邊基線歸算到橢球面改正公式[4]。

圖2 參考橢球面示意圖

(1)

式中，Hm為測距邊高出參考橢球面的平均高程。

將參考橢球面上某一點(x，y)投影到高斯平面上，可以獲得該點的長度比為：

(2)

假設該點上有長度為S的邊長，那么該邊長投影后的長度為：

(3)

式中：ym為測距邊兩端點橫坐標平均值，△y為測距邊兩端點橫坐標之差，Rm為參考橢球面上測距邊中點的平均曲率半徑。

將參考橢球面上的大地邊長S歸算到高斯投影面，邊長長度變形為：

將式(1)和式(2)組合，忽略微小項變形后，可以得到測距邊投影到高斯平面的總變形為：

(4)

從式(1)和式(2)可以看出△S1為負，△S2恒為正，可以抵消一部分。

由式(4)可知，△S由測距邊平均高程Hm、測距邊到中央子午線距離ym決定，在實際工程項目中，為保證設計施工前后資料的一致性，通常要求測區中央子午線保持不變，因此ym值基本也不會發生變化，為抵償測距邊的長度變形，只能采取改變投影面高程的方式。

假設測區范圍內有一點ya，若選取平均高程面為抵償投影面，那么△S1就為0。為了使該點投影變形△S完全為0，那么抵償投影面就應低于平均高程面。此時，假設選取的抵償投影面為HP，那么可以將式(1)改寫為：

(5)

將式(4)代入式(3)中，可以得到投影到抵償面的變形公式為：

(6)

當△S=0時，可以得到抵償高程面的計算公式[5]：

(7)

3.2 UTM 抵償投影面的建立

根據等比投影的性質，UTM投影長度比和高斯投影長度比有如下關系：

mUTM=0.9996m高斯

(8)

由于UTM投影和高斯投影具有相同的投影性質，將式(8)代入到式(3)中，可以得到參考橢球面邊長歸算到UTM投影面，長度變形為[6]：

(9)

由式(8)和式(9)可知，實測水平距離歸算到UTM投影面的長度總變形△S為：

(10)

進行抵償投影時，△S=0，可以得到UTM抵償投影面：

(11)

當對同一個測距邊既進行高斯投影又進行UTM投影時，測距邊的平面高程Hm，距離中央子午線的平面距離ym，坐標差值△y均相同，所以，由式(7)和式(11)可以得到：

HP(UTM)=0.0004R+HP(高斯)

(12)

將地球半徑平均值R=6371km代入式(12)中，得到：

HP(UTM)=2548.4+HP(高斯)

(13)

所以，對同一測距邊來說，進行抵償高程面投影時，UTM抵償投影面比高斯抵償投影面高 2 548.4 m。

4 抵償投影面適用范圍分析

由于UTM投影坐標系長度變形為0的地方在距離中央子午線 180 km左右，因此UTM投影通常適合較大范圍的投影，UTM坐標系在國際坐標系分帶中也只有6度分帶，而高斯投影中央子午線長度變形為0，投影分帶一般有6度分帶和3度分帶兩種，為了準確分析兩種抵償坐標系在投影帶不同區域之間抵償高程面的關系，這里選用6度帶進行分析。

在工程測量中，測距邊長一般都是幾千米，最長也不過十幾千米。為方便分析計算，△y取測距邊最大坐標差值 15 km，Rm取地球平均半徑R，此時抵償投影面高程式(7)、式(11)可以簡化為：

(14)

(15)

在實際工程中，為方便施工放樣等測量作業，通常要求設置抵償高程面不能與測區平均高程相差太大，這里將ABS(HP-Hm)≤200 m內，可以得到高斯投影抵償高程面的范圍為-50.7 km≤ym(高斯)≤50.7 km，UTM投影抵償高程面的范圍為 -187.1 km≤ym(UTM)≤-172.9 km和172.9 km≤ym(UTM)≤187.1 km。

圖3 6度帶范圍內抵償高程面與Y軸距離關系

從圖3中可以看出，UTM抵償投影面的適用范圍分為兩部分，并且這兩部分分別和距離中央子午線為 ±180 km的經線呈對稱分布，每部分適用范圍只有 14.2 km，而高斯投影適用范圍和中央子午線呈對稱分布，兩部分完全相連一起，總范圍為 101.4 km。UTM抵償高程投影只能適合距離中央子午線為 180 km的小范圍工程項目，而距離中央子午線較近的大范圍工程項目選擇高斯抵償投影較為合適[7，8]。

5 工程實例

Zenzo水電站位于安哥拉境內北寬扎省和南寬扎省交界處的寬扎(Cuanza)河上，是寬扎河中段規劃的7個梯級電站中的第4級，大壩設計裝機容量為 950 MW，最大壩高 115 m，壩軸線長度 1 000 m，壩頂高程 421 m，為安哥拉國內最大水電站之一。Zenzo水電站測區范圍為東經14°44′～14°49′，南緯9°41′～9°46′，為長寬各約 8 km～9 km的多邊形區域。為滿足設計和施工的精度要求(2.5 cm/km)，需要在測區范圍內建立抵償坐標系減少投影變形，同時為保證和前期勘測設計資料的一致性，抵償坐標系的中央子午線須保持東經15°不變。如圖4所示，在測區內建有D級GPS網，最大邊長約 8.5 km，測區內平均高程為 346 m。

圖4 測區控制網布置圖

(1)方案一高斯投影

由式(4)可以計算出，當采用全站儀進行施工測量放樣時，測距邊抵償前的投影變形量最大為：

該長度變形明顯不滿足邊長變形小于 2.5 cm/km的要求，因此需要選擇抵償高程面進行抵償投影，按照投影變形最大值為零的原則進行抵償投影，由公式(7)可以得到抵償高程面為：

HP(高斯)=346-41=305 m

要滿足長度變形小于2.5 cm/km時，抵償高程面需滿足145.7 m

(2)方案二UTM投影

HP(UTM)=2548.4+305=2853.4 m

要滿足長度變形小于2.5 cm/km時，抵償高程面需滿足2 694.1 m

從該水利工程不同投影方式下抵償高程面的計算可以看出，選用UTM投影時，抵償高程面為 2 853.4 m與測區的平均高程 346 m差距較大，而選用高斯投影時抵償投影面為 305 m，與測區平面高程較為相近。綜上考慮，在不限制投影方式時，該工程選擇高斯投影建立抵償坐標系較為合適。

6 結 語

高斯投影和UTM投影是兩種常見的不同投影，當采用兩種不同投影方式建立抵償坐標系時，由于中央子午線比例因子的差異，抵償高程面存在明顯差異，本文通過理論推導得出UTM抵償投影面比高斯抵償投影面高 2 548.4 m。由于這個差異，在建立抵償投影面時，兩者的適用范圍完全不同，當測區距離中央子午線距離在 ±50.7 km以內時，選用高斯投影建立的抵償高程面與測區平均高程在 200 m內，當測區距離中央子午線為 -187.1 km～-172.9 km和172.9 km～187.1 km時，選用UTM投影方式較為合適。本文中抵償高程面建立方法不僅可以應用于水利工程，還可以拓展到其他小范圍的工程項目。