含有時滯控制的準零剛度隔振器的隔振性能研究

李東海, 趙壽根, 何玉金, 李濤

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院, 北京 100191)

振動隔離是解決工程振動問題的重要手段。在目前大量的工程實際中，普遍采用線性隔振器。由線性隔振理論可知，當系統的激勵頻率與隔振器的固有頻率之比大于1.414時才具有隔振性能。對于一些精密儀器而言，如航天器上的光學元件，低頻振動對其精度影響更大。如采用線性隔振措施，勢必要降低隔振器的剛度從而實現低頻隔振。這也會造成隔振器的靜態穩定性降低。理想的情況是隔振器具有較高的靜態剛度來保證靜態負載能力，并且具有較低的動態剛度來增大隔振頻率范圍。高靜態剛度低動態剛度(high-static-low-dynamic-stiffness,HSLDS)特性可以通過非線性結構來實現[1]。Ibrahim[2]綜述了非線性隔振器的發展，表明非線性隔振是一個十分活躍的領域。Liu等[3]在其綜述中也詳細地闡述了非線性隔振器在微振動隔離領域的應用。Yang等[4]研究了帶有負剛度機構的非線性隔振系統的動力學行為。研究表明增加負剛度機構能極大地擴展隔振頻帶，使系統具有更好的隔振性能。Shaw等[5]用雙穩板設計了一種輕且有效的高靜態低動態剛度(HSLDS)的隔振系統，用實驗的方法證明其比等價的線性系統具有更大的隔振區域以及更低的固有頻率。彭獻等[6]采用連桿機構作為負剛度調節機構，研究了一種準零剛度隔振器的設計方法。Zhang等[7]將歐拉壓桿作為負剛度調節機構，設計了正負剛度并聯的隔振系統，不但顯著降低了隔振系統的固有頻率,同時也改善了系統的阻尼特性。徐道臨等[8]設計一款屈曲板型準零剛度隔振器,該隔振器由豎直的橡膠墊和屈曲的彈簧鋼板組合而成。并針對承載質量的變化會影響隔振器性能的問題,設計了具有準零剛度特性的可調式非線性氣動隔振器[9]。劉興天等[10]提出具有負剛度特性的歐拉屈曲梁結構并分析其靜態特性。Carrella等[11-14]和王勇等[15]利用斜置彈簧產生負剛度特性，并與正剛度彈簧相并聯組成準零剛度隔振器。張月英[16]在有關非線性隔振系統設計理論的基礎上，設計并驗證了一種由正負剛度并聯組合得到準零剛度隔振器。Xu等[17]利用電磁彈簧作為負剛度元件，設計了一種準零剛度隔振器，該新型隔振器的隔振性能，尤其在低頻區域，超過了等價的線性隔振器。閆建[18]基于屈曲狀態下工作的歐拉梁能夠提供負剛度的原理,設計了一種將歐拉梁與線性彈簧并聯的低頻隔振器,使其對低頻振動具有良好的抑制效果。針對大型車載光電設備0～20 Hz低頻段振動,基于準零剛度系統隔振原理,杜寧等[19]提出了一種新的低頻水平方向隔振方法。Ishida等[20]提出了一種基于一種具有扭轉屈曲模式可折疊圓筒的準零剛度隔振器。由于準零剛度具有高靜態剛度低動態剛度，可以有效地克服傳統非線性隔振器增加隔振頻率范圍和保證靜態承載力之間的矛盾，近年來，針對準零剛度隔振器的研究變得越來越熱門。

準零剛度隔振器有著線性隔振器不可比擬的優點，但是相比線性隔振器而言，其共振峰值依然過大；由于準零剛度隔振器的固有非線性，所以會造成系統的跳躍現象，這種不穩定性是一種不安全因素，所以在工程實際應用中不期望其出現。因此為了獲得更好的隔振性能，開展準零剛度隔振器的主動控制策略的研究就顯得十分必要。準零剛度隔振器的動力學特性方程可以用具有三次非線性項的Duffing振子模型來描述[1,21-24]。目前針對準零剛度隔振器的主動控制研究相對較少，但是許多學者開展了對Duffing振子和吸振器的主動研究[25-28]。通過時滯控制可以有效地抑制傳遞到敏感元件上的振動。但是針對準零剛度隔振器的時滯控制研究相對較少，本文在之前的研究基礎上，對準零剛度隔振器施加線性位移時滯控制，在力激勵的情況下，利用平均法得到了準零剛度隔振器的動力學響應，在此基礎上，分析了時滯控制參數對準零剛度隔振器的力傳遞率的影響。

1 準零剛度隔振器動態響應

1.1 準零剛度隔振器

本文采用2個斜置彈簧作為負剛度元件與豎直的正剛度彈簧相并聯形成單自由度的準零剛度隔振器[1,13]。對其進行線性時滯位移主動控制的結構模型如圖1所示。

圖1 準零剛度隔振器線性位移時滯控制結構示意圖

在工作狀態，斜置彈簧處于水平位置并達到靜平衡點處[11,13]，其長度為l。自由狀態時,距離靜平衡位置的距離為xs;x為負載質量m從靜平衡位置開始的位移。斜置彈簧的原長為l0。斜置彈簧的剛度為kh,垂直彈簧的剛度為kv,假設系統的阻尼為線性阻尼,阻尼系數為c,控制剛度為kc,反饋信號為系統的線性位移x;f為負載質量m受到的外界激勵力。

1.2 簡諧力作用下隔振器的響應

準零剛度隔振器線性位移時滯控制結構示意圖如圖1所示。為了建模的簡便性,先考慮無控制系統的動力學特性。利用拉格朗日方程可以建立準零剛度隔振器在簡諧力激勵下的動力學方程。隔振器的動能為

(1)

現設靜平衡位置為系統的勢能零點,則該系統的總勢能為

(2)

拉格朗日函數可以表示為

(3)

拉格朗日方程表示為

(4)

式中,Fe(t)=Fcos(ωt)為隔振器受到的簡諧激勵力,t為時間,ω為簡諧激勵力的頻率。聯立(3)式和(4)式可得到隔振器的動力學方程

(5)

引入無量綱參數,可對(5)式無量綱化,得到隔振器的無量綱動力學方程

(6)

(7)

當隔振器的位移相對初始位移為小量時,可以將系統的動力學方程在靜平衡點處泰勒展開并保留三次精度得到

(8)

(9)

(10)

式中

將ΩT+θ在0～2π之間取平均值得到

(11)

(12)

利用sin2θ+cos2θ=1可以得到系統的幅頻響應特性

(13)

相頻特性方程為

(14)

該受時滯控制的準零剛度隔振器的更為詳細的動態特性研究及穩定性分析見文獻[29],為節省篇幅,本文將不再贅述。

2 準零剛度隔振器力傳遞率

2.1 力傳遞率

(15)

(16)

一般地,力傳遞率TF定義為傳遞到基礎上的載荷的幅值ft和激勵幅值fe的比值。即

(17)

將(13)式和(16)式代入(17)式可得含有時滯線性位移的準零剛度隔振器的力傳遞率為

(18)

圖2a)中右邊的曲線簇為有線性位移時滯控制的等效線性隔振器的力傳遞率曲線,左邊曲線簇是含有線性位移時滯控制的準零剛度隔振器的力傳遞率曲線。對比準零剛度隔振器的力傳遞率曲線和其等效線性隔振器的力傳遞率曲線可知,當外界激勵力為極限載荷時,當頻率比Ω<1時,盡管準零剛度隔振器的力傳遞率比其等效線性隔振器的力傳遞率大,但是依然可以看出來,準零剛度隔振器的隔振頻率帶依然比線性隔振器的頻率帶寬,而當激勵力的幅值小于極限載荷時,準零剛度隔振器的隔振頻帶會更寬,其隔振性能的優越性越明顯,該方面的論述詳見參考文獻[1]。

當有線性位移時滯控制時,準零剛度隔振器低頻段的力傳遞特性相比無時滯控制時的力傳遞率降低,且傳遞率峰值也明顯地降低,由此可以看出時滯控制的阻尼效應,且當時滯參數τ給定在合適范圍內,隨著控制增益g的增加,其等效阻尼ξeq越大[29],故其傳遞率峰值隨著g的增加而降低,且當等效阻尼越大時,其高頻段的力傳遞率越大。相比無控制系統,有時滯控制情況下的隔振頻率較大,且隨著控制增益的增大有增大的趨勢。對比有控制的準零剛度隔振器與其等效的線性隔振器的力傳遞特性,可以清晰地看到有時滯控制的準零剛度隔振器的力傳遞特性要好于等效線性隔振器,尤其是在高頻段內,準零剛度隔振器的力傳遞率有很大程度降低。在圖2中也可以看出時滯控制對系統線性剛度的影響,其表現在力傳遞率曲線的向右彎曲開始頻率右移,原因在于所選擇的時滯參數和控制增益造成了系統的線性剛度系數增加。盡管如此,有時滯控制的準零剛度隔振器的隔振性能依然好于無控制時的隔振器,且可以增加系統的靜態魯棒性。

圖2b)中外部激勵力為極限載荷。在圖中,靠右的曲線簇為等效線性隔振器的力傳遞率特性曲線,左邊的曲線簇是準零剛度隔振器的力傳遞率特性曲線。準零剛度隔振器及其等效線性隔振器的力傳遞率特性曲線隨著時滯參數τ的變化規律和圖2a)中的變化規律類似。由此可見,對準零剛度隔振器施加線性位移時滯控制不僅可以有效地改善系統的力傳遞率特性,而且可以增加系統的靜態魯棒性。

圖2 含有線性位移時滯控制的準零剛度隔振器力傳遞率曲線

2.2 傳遞率峰值

準零剛度隔振器的傳遞率峰值發生在系統的位移響應最大時[1],而當系統的位移響應的相位和外部激勵力的相位相差-π/2時,系統位移響應最大[22]。因此可由(12)式得到系統的最大響應位移為

(19)

式中,Ωmax表示當位移響應最大時所對應的頻率比。可以得到其對應的外界激勵力的幅值fe為

fe=2(gsin(Ωmaxτ)+2ξ)·

(20)

此時隔振器的最大位移響應為

(21)

將(21)式代入(18)式中就可以得得到當系統發生最大位移響應時的頻率為Ωmax時的傳遞率峰值。

(22)

考慮到準零剛度隔振器的特性,故其傳遞率峰值所對應的頻率比不能大于1,因為若大于1時,則隔振性能不如等價的線性隔振器。所以,令Ωmax=1可得到所允許施加到隔振器上的最大外界力激勵的幅值fe|Ωmax=1為

(23)

此時隔振器的最大響應位移為

(24)

將(24)式代入(22)中可以得到當發生最大位移響應時的頻率為Ωmax=1時準零剛度隔振器傳遞率峰值TF|Ωmax=1為

(25)

圖3a)所示是當時滯參數τ=π/6時,準零剛度隔振器在不同控制增益參數g下的力傳遞率峰值。當g=0時表示無控制,由圖3a)可知當控制參數選擇在合適范圍內時,有控制時系統的力傳遞峰值比無控制時小,且當時滯參數一定時,隨著控制增益的增加,系統的力傳遞率峰值相應減小。且力傳遞率峰值的大小隨著共振頻率的增加而增大。由圖3a)可知時滯控制可以有效地抑制準零剛度隔振器的力傳遞率峰值,因而可以大幅地提高隔振器的隔振性能。圖3b)所示是當控制增益參數g=0.4時,準零剛度隔振器在不同時滯參數τ下的力傳遞率峰值。圖3b)中曲線的變化規律與圖3a)中的變化規律類似,當控制增益一定且時滯參數在一定范圍內時,隔振器的力傳遞率峰值隨著時滯參數的增加而增加。說明時滯控制可以有效地抑制系統的力傳遞率峰值,大幅地提高系統的隔振性能。

圖時準零剛度隔振器力傳遞率峰值曲線

圖4為受控準零剛度隔振器在不同簡諧力激勵下的傳遞率曲線。不同激勵力的傳遞率峰值均在傳遞率峰值曲線上。值得注意的是,當力激勵幅值大約為不受控系統的臨界載荷的6倍時,最大傳遞率發生在頻率比為1處。意味受控系統相比不受控系統能夠承受更大的激勵力,因此能夠適應更加極端的工作環境。

圖4 不同簡諧力激勵下的受控準零剛度隔振器的力傳遞率

3 算例分析

根據文獻[30]中實測得到的某飛輪引起的徑向擾振力為本文中的準零剛度隔振器所受到的外界激勵,其具體表達式為

(26)

其無量綱化的表達形式為

(27)

隔振器和飛輪的參數取值如表1所示。將各參數以及(27)式帶入(8)式并聯立(15)式可得到傳遞到基礎上的無量綱力。圖5為含有時滯控制的準零剛度隔振器對該飛輪擾振力的隔振效果。從圖中可以得知,傳遞到基礎上的力的幅值約為飛輪擾振力的10-4倍。從曲線結果可以看出由于準零剛度隔振器的固有頻率較低,對具有較高頻的飛輪擾振力具有良好的隔振效果。

表1 計算參數取值

圖5 含有時滯控制的準零剛度隔振器對飛輪擾振力隔振效果

4 結 論

本文研究了帶有線性位移時滯控制的三彈簧準零剛度隔振器在簡諧力激勵下的隔振性能。結果表明,相比線性隔振器,準零剛度隔振器的隔振頻率帶更寬;而增加時滯控制可以進一步地拓寬隔振帶寬,改善低頻帶系統的隔振性能;且在高頻段受控系統的力傳遞率要比不受控系統的力傳遞率小,表明增加時滯控制不僅可以改善低頻段隔振性能,而且系統的高頻段隔振性能也會得到改善。最后給出了力傳遞率峰值的理論結果,不僅表明有時滯控制的系統的力傳遞率峰值得到了有效地抑制,而且增加時滯控制可以使隔振器適應更加極端的工作環境。