空間向量外積在立體幾何中的應(yīng)用

諸葛得莉

【摘要】文章結(jié)合學生在立體幾何中求解平面法向量的相關(guān)現(xiàn)狀，通過一節(jié)課探討了空間向量外積在立體幾何中的操作可行性及教學中有效輸入與輸出的重要性，從而減少立體幾何中的代數(shù)運算，提高學生的做題速度和準確率，解決立體幾何中求解平面法向量煩瑣的難點。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學;空間向量外積;平面法向量;輸入與輸出

一、引言

2017年版《普通高中數(shù)學課程標準》（以下簡稱《標準》）明確提出了六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相互獨立，又相互交融，是一個有機的整體，具體到空間立體幾何內(nèi)容上，主要體現(xiàn)在數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等方面。立體幾何是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，是考查空間想象能力的重要載體，每年高考必考一道大題，分值12分。應(yīng)用空間向量外積法求解平面法向量避免空間向量內(nèi)積法的三元一次方程的求解過程中的風險，達到避繁就簡的功效[1]。近幾年，越來越多的一線教師開始在立體幾何的教學中拓展空間向量的外積求解立體幾何的空間角等問題，解決了立體幾何中平面法向量求解的煩瑣問題[2]。

二、有關(guān)定義與公式

（一）空間向量外積（叉積）的概念

1.定義：記，稱為與的外積（叉積）.

其中，向量的模（可由坐標運算證明）;向量的方向使且，符合右手螺旋法則.

2.運算規(guī)律：（1）（由定義驗證）;（2）（由坐標運算驗證）;（3）（由定義驗證）.

3.空間向量外積（叉積）幾何意義： 的面積（由坐標運算驗證）.

（二）空間向量外積（叉積）坐標運算

設(shè)，，則.

（三）空間向量外積（叉積）的應(yīng)用

1.的面積;

2.與為平面內(nèi)兩個不共線向量，則為平面的法向量;

3.;

4.三向量，，的混合積，則三向量，，共面.

（證明略）。

三、輸入與輸出教學模式課題分析

空間向量外積的引入，為求解平面法向量提供了新的幾何視角，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個十分有效的工具。本文以人教A版選修2-1第三章第二節(jié)立體幾何中的向量方法為例，具體解讀空間向量外積在求解平面法向量中的應(yīng)用。

[教學過程]

1.復習上節(jié)課內(nèi)容——空間向量的外積，引出平面法向量的另一種求法。

上節(jié)課學生已經(jīng)學習了空間向量外積的定義及運算公式，本節(jié)課上課前5分鐘師生共同復習空間向量外積的有關(guān)內(nèi)容，旨在讓學生快速進入課堂。

設(shè)計意圖：在復習部分，通過讓學生回顧空間向量外積的相關(guān)知識，直接把學生帶入到本節(jié)課的教學中，為本節(jié)課的教學內(nèi)容——空間向量外積在立體幾何中的應(yīng)用做準備。

2.拋出問題，引出本節(jié)課的重點內(nèi)容。

[教學片斷]

師：上節(jié)課已經(jīng)學習了空間向量外積的定義及運算，請問，空間向量外積能解決什么問題？

生1：求三角形的面積。

生2：平面的法向量。

生3：我想起了，立體幾何大題第二問一般求解線面角和二面角的有關(guān)問題，關(guān)鍵在于求平面的法向量。如果會用空間向量外積求平面的法向量，步驟很少，應(yīng)該能很快算完。

生4：那不見得，我認為空間向量內(nèi)積求解也很快啊，就是麻煩點而已。

生5：誰說的，我就認為外積法更快一點。只要知道平面上兩個不共線向量的坐標，求解馬上就得到結(jié)果。如果你用內(nèi)積法來做，你還要設(shè)平面法向量的坐標，然后列一個三元一次方程組求解，請問你要算到什么時候？

生4：但是這個公式我記不住啊。那高考錯了我大概要損失6分了，6分排名就掉六千了呀，那我不虧死？

……

師：同學們分析得都有道理，兩種方法都可以算平面的法向量，我們把這兩種方法分別稱為內(nèi)積法和外積法。我們平時做題的時候用哪種方法更好呢？下面我們就實驗下到底哪種方法更適合我們。班級興趣小組有4組，每組5人（高二開學就已經(jīng)分好每個小組的組員，其中每組的情況差不多），組長分配好組員用哪種方法，或者組員自己挑選方法計算，然后統(tǒng)計好每個人用的時間，再在組內(nèi)自己對下答案。現(xiàn)在大家就比賽下！（老師利用PPT放映試題。）

例1：已知三點，，.求：平面的法向量.

答案：，（0 -1，1 -0，-1 -1）=（-1，1，-2），則.

（求平面的法向量除了用外，還可以用或者等。）

小組1：組內(nèi)3個成員利用內(nèi)積法分別花了3、4、3分鐘算得正確答案，其他兩人利用外積法分別花了1、2分鐘算得正確答案。我們組內(nèi)成員認為利用外積法求解平面法向量更省時間，更方便。

小組2：我是利用內(nèi)積法算的，花了4分鐘算出正確答案，我美麗的同桌利用外積法4分鐘算得正確答案，其他同學我還沒有來得及作對比。但是我認為兩種方法都差不多，看自己的熟練程度吧。

小組3：我們小組剛剛?cè)慷际抢猛夥e法來求平面法向量，都是2分鐘算完，且都是正確的。算完后，我們環(huán)顧四周，發(fā)現(xiàn)很多人還在計算。

小組4：我們小組情況還不錯。每個人都是選擇自己喜歡的方法，有2人選擇內(nèi)積法計算，3人選擇外積法計算，且都是正確的。然后統(tǒng)計時間發(fā)現(xiàn)內(nèi)積法算得更快一點。

生1：我是這么認為的，如果計算能力較強的同學用外積法解決立體幾何中平面的法向量更省時間，心服口服了，以后考試我就用這種方法了，我又可以省下幾分鐘做其他大題了。

生2：我也決定用外積法來求平面的法向量，既快又準確……

生3：我不是很熟練，計算又不是很好，又害怕記錯公式，我覺得我還是用內(nèi)積法求平面的法向量更穩(wěn)妥。

生4：外積法求平面法向量會用了肯定很省時間。高考中如果選擇、填空題當中要利用平面的法向量去求解一些問題，我用內(nèi)積法去求那不是很慢嗎？本來高考的時間就遠遠不夠用，那我如果用內(nèi)積法計算不是得不償失？

生5：那可不見得。我利用內(nèi)積法求平面法向量更快更省時間呢……

師：老師拓展外積法求解平面的法向量并不是要求你們就一定要用這種方法求平面的法向量。大家要根據(jù)自己的實際情況選擇解題的方法。

設(shè)計意圖：在本階段，一方面，從討論的話題過渡到做題上，并且讓學生小組討論，每組發(fā)表自己的看法，尤其讓學生明白做題時一定要根據(jù)自己的實際情況選擇正確的解題方法，把重心放在結(jié)果上;另一方面，學生通過小組合作學習、自主探究，發(fā)揮主觀能動性，在快樂中學習，增強了學習數(shù)學的興趣。

3.學生做題，總結(jié)方法。

[教學片段]

師：現(xiàn)在有內(nèi)積法和外積法可以求平面的法向量，希望每個同學都能根據(jù)自己的實際情況選擇做題方法。說得再多都沒有用，手底下見真章，大家練習2017年全國I卷理科第18道大題，檢驗下是否已經(jīng)掌握解題方法。要求：自己統(tǒng)計你做完這道題花的時間。（教師利用PPT放映例2。）

例2：（2017年·課標全國I卷理科數(shù)學）在四棱錐中，，且.

（1）證明：平面平面;

（2）若，，求二面角的余弦值.

設(shè)計意圖：在本階段，課堂討論的方法過渡到做高考題上，讓學生體驗高考題的難易程度。然后通過結(jié)構(gòu)性的提問，引導學生進行思考，找出自己的做題方法，并且把本節(jié)課所學內(nèi)容變?yōu)榧河谩Ｗ寣W生一步一步掌握方法，降低計算難度，學生的做題輸出更容易些。

四、結(jié)語

從學生的課堂表現(xiàn)及課后作業(yè)來看，學生能夠快速利用外積法解出立體幾何中空間角的問題，達到本節(jié)課的教學目標。學生在課堂上積極活躍，師生互動良好，說明只有新知識的輸入，才有學生的輸出，才能讓學生更愉快地學習，從而體現(xiàn)出教師輸入的重要性。在引導過程中，教學環(huán)節(jié)緊湊，以學生合作交流為主，講練結(jié)合，使教學目標的實現(xiàn)水到渠成。有效的教學需要教師的足夠輸入，才能幫助學生搭建知識的框架，讓學生更有信心去學習。

【參考文獻】

[1]林自強.探討外積法在求解平面法向量中的應(yīng)用[J].數(shù)學學習與研究，2012（07）：99.

[2]葛炳芳.英語閱讀教學中的讀寫整合：鋪墊與輸出[M].杭州：浙江大學出版社，2017.