橋梁鋼裂紋尖端張開位移與試樣厚度關系式的改進

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(武漢理工大學交通學院，武漢 430063)

0 引 言

隨著材料科學的發展與冶煉技術的提高，現有建筑鋼材不僅種類繁多，而且力學性能也相差較大。在建造鋼結構建筑物時，焊接是結構件常用的一種連接方式。焊接接頭易萌生裂紋，在服役過程中，微裂紋在外載荷的作用下不斷擴展，并逐步演化成肉眼可見的大裂紋，最終導致結構件的失效。國外有關重要鋼結構建筑的規范規定：在設計階段，必須測試相應焊接工藝下接頭的斷裂韌度；只有當焊接接頭的斷裂韌度達到規范給出的允許值時，才允許進行施工。斷裂韌度表征的是材料抵抗裂紋擴展的能力，包括應力強度因子KC、能量釋放率G、裂紋尖端張開位移(CTOD)和J積分等4種參量。其中，CTOD的測試技術成熟、原理簡單，是常用的斷裂韌度指標[1]。在測試CTOD時，常采用標準矩形截面的三點彎曲試樣。在相同的試驗溫度下，同種材料不同厚度試樣測得的斷裂韌度是不同的：CTOD值隨試樣厚度的增加呈現出先增后降，最后穩定于常數的變化趨勢[2-5]。這種現象即為厚度效應，反映出試樣厚度對斷裂韌度的影響。

在CTOD與試樣厚度的關系方面已有相關研究。2013年，閆鵬帥等[6]首次提出了CTOD值δ與試樣厚度t的關系式(厚度效應關系式)。然而，在用該關系式擬合不同厚度橋梁鋼試樣的CTOD值時，發現擬合值與試驗數據間的誤差較大，最大相對誤差達到了15.6%，因此有必要對該厚度效應關系式進行改進。

作者介紹了閆鵬帥等所得厚度效應關系式的具體推導過程，分析了其擬合值誤差較大的原因，并對其進行了改進；使用不同厚度橋梁鋼試樣的CTOD試驗數據對改進后的厚度效應關系式進行了驗證。

1 厚度效應關系式

1.1 原關系式的推導

根據Griffith表面能理論，對于含中心穿透裂紋的無限大板，裂紋擴展時G與表面能S存在如下關系[7]：

G=2S

(1)

對于Ⅰ型裂紋，G與KC的關系為

(2)

式中：E′為廣義彈性模量。

當試樣厚度較小時，試樣處于平面應力狀態，E′=E(E為彈性模量)；當試樣厚度較大時，試樣處于平面應變狀態，E′=1/(1-ν2)(ν為泊松比)。

將式(2)代入式(1)，得到

(3)

根據Barenblatt吸附力理論與Dugdale帶狀屈服模型，在平面應力狀態下，式(3)可變換成如下形式[8]：

(4)

式中：σ為裂尖垂直于裂紋擴展面的應力；ε為裂尖塑性區正應變；ε′為正應變極限值。

(5)

式中：σs為屈服強度。

聯立式(4)和式(5)可知，當t趨近于0且試樣處于平面應力狀態時，δ與t成正比。當t很大時，由試驗結果可知，δ會穩定于常數δm(即平面應變下的CTOD值)。以這兩點為基礎，閆鵬帥等應用構造法提出了δ與t的關系式，如下：

δ=ξtexp(-kth)+δm[1-exp(-kth)]

(6)

式中：ξ，k為材料參數；h為厚度t的冪，其功能是調節曲線形狀。

式(6)由兩部分構成：第一部分即ξtexp(-kth)，代表的是平面應力區域對斷裂韌度的貢獻；第二部分即δm[1-exp(-kth)]，代表的是平面應變區域的貢獻。當t從0逐步增大時：第一部分中的exp(-kth)將從1減小至0，表明平面應力對斷裂韌度的貢獻逐漸減小；第二部分中的1-exp(-kth)將從0增大至1，表明平面應變對斷裂韌度的貢獻逐漸增大。

1.2 原關系式存在的問題及改進

閆鵬帥等[6]在用式(6)擬合橋梁鋼的CTOD試驗值時，效果不甚理想，最大相對誤差達15.6%。作者認為這一問題出在式(6)所用的函數形式上。令ξ=0.35，k=0.15，δm=0.5 mm，h=1，則式(6)的函數曲線見圖1。

圖1 式(6)的函數曲線Fig.1 Function curves of Eq.(6)

由圖1可以看出，式(6)的函數曲線與斷裂韌度隨試樣厚度變化的趨勢是一致的。然而由文獻[10]中不同厚度3種橋梁鋼的CTOD試驗結果可知：當試樣厚度為30 mm左右時，CTOD值最大；當試樣厚度達到50 mm左右時，CTOD值漸漸趨于常數。通過調節式(6)中的參數大小，使其擬合曲線與橋梁鋼的CTOD試驗結果相重合。式(6)的第二部分只需將δm調整至橋梁鋼在平面應變下的CTOD值即可；而在對第一部分的參數進行調整時，當將峰值位置向右調整到t為30 mm處時，函數曲線會變得“矮胖”，在t為30～50 mm間，CTOD值不可能陡降到0。因此，式(6)第一部分的函數形式不合理。

要改進式(6)，就需要找到“山峰”形曲線的函數，并且該函數在波峰的右邊能迅速減小至0。由此，作者聯想到了極值分布的概率密度函數，因為該函數曲線正好滿足上述要求。用概率密度函數替換式(6)的第一部分函數，得到的厚度效應改進關系式為

δm1-exp-kt

(7)

式中：μ，β為材料參數。

在Matlab軟件平臺上對曲線進行擬合，為了避免由于參數初始值設置不當而得到局部最優解，分成兩個步驟進行擬合。第一步，試參數。編程描出試驗數據點，在同一幅二維圖像中，繪制出式(7)的函數曲線；手動調節式(7)中的參數，使曲線盡可能靠近數據點，但無需穿過數據點；當曲線離數據點比較近時，記錄下此時曲線的參數，作為下一步擬合時的初始參數值。第二步，曲線擬合。利用軟件自帶的曲線擬合函數lsqcurvefit，將上一步記錄的擬合初始參數值代入該函數中，隨后程序自動按最小二乘法計算出最合適的參數值。按照這兩個步驟，便可得到全局最優解。

2 試驗驗證

用文獻[10]中室溫下14MnNbq鋼、14MnNbq鋼接頭焊縫和16Mnq鋼的CTOD試驗值對式(7)進行驗證。

圖2 14MnNbq鋼CTOD試驗值及其擬合曲線Fig.2 CTOD test values and the fitting curves for 14MnNbq steel

2.1 對14MnNbq鋼的適用性

按照前文所說的擬合步驟，對14MnNbq鋼的CTOD試驗值進行擬合，擬合曲線見圖2，擬合關系式為

1.4[1-exp-0.075t]

(8)

利用式(8)計算得到的δ及其與試驗值的相對誤差見表1。

表1不同厚度14MnNbq鋼CTOD的試驗值和式(8)
計算值及其相對誤差

Table1CTODtestvaluesandcalculationvaluesfromEq.(8)andtheirrelativeerrorsfor14MnNbqsteelwithdifferentthicknesses

t/mmδ/mm試驗值計算值相對誤差/%100.724 30.775 57.06140.931 50.986 25.87221.474 01.434 72.67302.094 82.102 40.36401.556 31.553 70.17461.408 21.355 83.72

由圖2可以看出，由式(7)擬合得到的曲線能很好地反映14MnNbq鋼CTOD試驗值變化的規律。式(7)的第一部分對提高擬合結果準確性的貢獻最大。由表1可以看出，由式(8)計算得到的CTOD值與試驗數據的最大相對誤差為7.06%，最小為0.17%。由此可見，作者提出的厚度效應關系式的改進方法是合理且有效的。

2.2 對14MnNbq鋼接頭焊縫的適用性

同理，按照前文所說的擬合步驟對14MnNbq鋼接頭焊縫的CTOD試驗值進行擬合，擬合曲線見圖3，擬合關系式為

0.151-exp-0.08t

(9)

利用式(9)計算得到的δ及其與試驗值的相對誤差見表2。

由圖3和表2可以看出，改進后的厚度效應關系式對14MnNbq鋼接頭焊縫CTOD試驗值的擬合準確性較高，最大相對誤差為7.63%，最小為0.95%。由此可見，改進后的厚度效應關系式適用于14MnNbq鋼接頭焊縫。

表2不同厚度14MnNbq鋼接頭焊縫CTOD的試驗值和
式(9)計算值及其相對誤差

Table2CTODtestvaluesandcalculationbaluesfromEq.(9)andtheirrelativeerrorsforweldof14MnNbqsteeljointwithdifferentthicknesses

t/mmδ/mm試驗值計算值相對誤差/%100.268 80.279 64.01140.446 30.415 16.99220.771 70.792 22.65300.923 70.914 90.95400.188 90.203 07.49460.158 50.146 47.63

2.3 對16Mnq鋼的適用性

按照前文所說的擬合步驟對16Mnq鋼的CTOD試驗值進行擬合，擬合曲線見圖4，擬合關系式為

0.541-exp-0.21t

(10)

利用式(10)計算得到的δ及其與試驗值的相對誤差見表3。

從圖4和表3可以看出，改進后的厚度效應關系式對16Mnq鋼CTOD試驗值的擬合準確性較高，最大相對誤差為1.66%，最小為0.54%。由此可見，改進后的厚度效應關系式適用于16Mnq鋼。

圖4 16Mnq鋼CTOD試驗值及其擬合曲線Fig.4 CTOD test values and the fitting curves of 16Mnq steel

Table3CTODtestvaluesandcalculationvaluesfromEq.(10)andtheirrelativeerrorsfor16Mnqsteelwithdifferentthicknesses

t/mmδ/mm試驗值計算值相對誤差/%100.724 40.736 51.66140.874 00.860 21.58220.913 90.919 10.57300.640 70.637 20.54

綜上所述，改進后的厚度效應關系式對3種橋梁鋼試樣CTOD試驗值的擬合準確性均較高，該關系式對橋梁鋼具有普適性。

建立厚度效應關系式的主要目的是為了進行斷裂韌性的預測。對于某一材料，若已知其在若干厚度下的CTOD值，則可以采用改進的厚度效應關系式擬合已知的CTOD值，再使用擬合曲線預測其在其他厚度下的CTOD值，以此來表征斷裂韌性。已知的數據點越多，預測的結果就越接近真實值。由于數據點對擬合曲線有約束作用，所以作者給出的厚度效應改進關系式具有適用的厚度范圍，預測試樣的厚度應在試驗數據測試時所用試樣的最小厚度和最大厚度之間。在該厚度范圍外，由于缺少試驗數據的支撐，雖然有擬合曲線經過，仍無法保證預測結果的準確性。

3 結 論

(1) 閆鵬帥等建立的厚度效應關系式的第一部分(即平面應力部分)函數形式不合理，導致對CTOD值的預測不準確；用概率密度函數替換第一部分函數，得到厚度效應改進關系式。

(2) 用不同厚度橋梁鋼試樣(14MnNbq鋼、14MnNbq鋼接頭焊縫、16Mnq鋼)的CTOD試驗值對厚度效應改進關系式進行驗證，擬合得到的CTOD值與試驗值的相對誤差較小，說明厚度效應關系式的改進方法是合理有效的，并且厚度效應改進關系式適用于不同的橋梁鋼。

(3) 利用該厚度效應改進關系式進行斷裂韌性預測時，預測試樣的厚度應在試驗數據測試時所用試樣的最小厚度與最大厚度之間，這樣才能保證預測結果的準確；在此厚度范圍外，由于缺少試驗數據的約束，不建議進行斷裂韌度的預測。