基于梯度下降法的離散概率空間區(qū)域射擊瞄準點求解方法

賈正榮， 王航宇， 盧發(fā)興

(海軍工程大學 兵器工程學院， 湖北 武漢 430033)

0 引言

區(qū)域射擊方法能夠優(yōu)化求解多武器協(xié)同攻擊時的射擊方案[1]，該方法通過綜合考慮射擊時的目標散布、武器射擊偏差、武器搜捕范圍(針對末制導搜索武器，如反艦導彈、巡飛彈、無人艇、無人機等無人作戰(zhàn)平臺)，優(yōu)化求解射擊瞄準點配置，以提高射擊方案的毀傷概率或捕獲概率。其中，射擊瞄準點的求解對于區(qū)域射擊方案至關重要，更優(yōu)的射擊瞄準點配置意味著達到預定毀傷概率或預定捕獲概率所需的武器數(shù)量更少。

目前，求解區(qū)域射擊瞄準點的方法主要有兩種。第一種是幾何法：如文獻[2]研究了多枚反艦導彈打擊機動目標的射擊方法，通過考慮目標初始散布與機動范圍，給出了使導彈捕獲概率大于一定值的射擊前置點區(qū)域，在該區(qū)域內進行了反艦導彈瞄準點配置；文獻[3]研究了多枚導彈區(qū)域覆蓋平行搜索問題，考慮了多種情況的目標初始散布與機動可能性，通過將目標初始散布與目標機動合成，給出了綜合后的目標散布區(qū)域，并根據(jù)該區(qū)域大小調整多枚導彈各自相對于目標散布中心的偏移量，以提高捕獲概率，類似的研究還包括文獻[4-5]等。第二種是函數(shù)逼近法：如文獻[1]研究了末制導搜索武器對散布服從正態(tài)分布的目標區(qū)域射擊問題，通過變分方法求解得到了解析形式的最優(yōu)中間函數(shù)，最優(yōu)中間函數(shù)反映了瞄準點配置的理論最優(yōu)值，并以此為依據(jù)建立了實際瞄準點的中間函數(shù)與最優(yōu)中間函數(shù)的差值范數(shù)指標，通過數(shù)值逼近方法優(yōu)化該指標，求解得到最優(yōu)瞄準點配置；文獻[6]采用與文獻[1]相似的思路，求解了目標散布服從均勻分布的區(qū)域射擊問題。在這兩種方法中，幾何法求解效率較高，但是優(yōu)化程度較低；函數(shù)逼近法優(yōu)化程度較高，但是計算量大，耗時較長。

現(xiàn)有研究雖然在求解方法上有所不同，但是求解的核心思路都是一致的，即優(yōu)化過程與目標分布情況強相關，且都采用等間隔的瞄準點配置方法，所有射擊瞄準點關于目標散布中心等間隔的配置。該方法的優(yōu)點是優(yōu)化參數(shù)少，便于求解。但是也存在一定的局限性：首先，現(xiàn)有研究主要針對目標散布服從正態(tài)分布與均勻分布兩種情況給出了對應的最優(yōu)中間函數(shù)，進而給出瞄準點配置求解方法，其最優(yōu)中間函數(shù)與目標分布的形式強相關，對于新的目標分布情況，需要重新進行理論推導，而實際作戰(zhàn)中，根據(jù)情報的完備程度，指揮員可能人為設定目標的分布情況[7-8]，而人為設定的目標分布可能難以通過解析函數(shù)表示，即使可以用解析函數(shù)表示，也難以直接通過變分分析優(yōu)化求解；其次，隨著武器的信息化、智能化水平提升[9]，在攻擊過程中后續(xù)武器能夠接收之前武器回傳的目標信息，若目標初始(先驗)分布為規(guī)則的正態(tài)分布或均勻分布，則考慮回傳信息的更新后(后驗)目標分布也不可能是規(guī)則的分布[10-12]；最后，當采用異類武器進行區(qū)域射擊時，異類武器的搜捕范圍不同，此時若繼續(xù)采用等間隔的瞄準點配置，就會犧牲高性能武器的優(yōu)勢。簡而言之，現(xiàn)有方法存在的主要問題是由于優(yōu)化求解過程與目標分布形式強相關，并采用了等間隔的瞄準點配置，從而無法應對多變復雜的目標散布情況，特別是目標服從不規(guī)則概率分布的情況。

因此，為增強區(qū)域射擊方法的適用性，解決目標分布不規(guī)則條件下的區(qū)域射擊瞄準點求解問題，本文提出基于梯度下降法的離散概率空間區(qū)域射擊瞄準點求解方法。通過在離散空間內描述目標的分布概率，從而適應不規(guī)則的目標分布情況[13-14]，之后通過變分方法求解離散空間內的最優(yōu)中間函數(shù)[15]，以實際中間函數(shù)與最優(yōu)中間函數(shù)的差值范數(shù)作為優(yōu)化指標，給出解析形式的指標梯度，并構建基于梯度下降法的射擊點位置求解模型[16-18]，最終實現(xiàn)對目標不規(guī)則分布的非等間隔瞄準點求解。

1 離散空間區(qū)域射擊毀傷概率模型

設f(x)是連續(xù)空間內目標分布的概率密度函數(shù)，有

(1)

為精確反映目標的概率分布，同時考慮計算的可行性，將坐標空間等間隔離散化，間隔記為Δx，如圖1所示(圖1中F(x)為離散空間概率密度)。從而得到離散空間內給出目標的分布概率密度F(xj)，有

(2)

式中：xj為離散概率空間中第j個點的目標位置；Φ為離散概率空間點的集合。

另外，由于連續(xù)空間內的概率密度定義域可能為(-∞,∞)，而Φ只能取有限個點，為保證充分覆蓋目標散布區(qū)域，設α為允許誤差，有

(3)

同時，記M(Φ)為離散空間Φ的范圍，即Φ內坐標最大值與坐標最小值的差值，

M(Φ)=max{xj}-min{xj}.

(4)

與文獻[1]類似，可以得到離散空間內的目標毀傷概率為

(5)

式中：m為瞄準點數(shù)量；ni為每個瞄準點上分配的武器數(shù)量；Q為武器捕獲目標后毀傷目標的概率，與突防概率、毀傷能力有關，文中取定值；P(xj-xi)為目標位置為xj、瞄準點為xi時的條件捕獲概率函數(shù)，

(6)

其中Ex1為武器的自控終點散布誤差，ρ為常數(shù)0.476 936，B為武器搜索半寬。

由于在離散空間內通過F(xj)描述目標分布情況，從而可以靈活地表示目標的各種分布。

2 最優(yōu)中間函數(shù)求解

文獻[1，6]分別在目標正態(tài)分布與均勻分布的條件下引入中間函數(shù)，并通過變分法求解得到最優(yōu)中間函數(shù)，為區(qū)域射擊的瞄準點配置求解提供了極大的便利。然而，現(xiàn)有研究的最優(yōu)中間函數(shù)與目標分布情況強相關，對于新的目標分布情況(即不是正態(tài)分布或均勻分布的情況)，則需要重新進行理論推導。因此，這里基于文獻[1，6]的方法，給出適用于離散目標分布的最優(yōu)中間函數(shù)求解方法，方法流程固定，結果僅與離散目標分布的具體取值有關，從而可以適用于不規(guī)則的目標離散概率分布情況。

最優(yōu)中間函數(shù)Uo(x)是中間函數(shù)U(x,xi)在給定目標分布條件下的理論最優(yōu)函數(shù)，與具體的瞄準點配置xi無關，并且有較好的解析形式。雖然Uo(x)無法通過有限個瞄準點配置達到，但是可以將最優(yōu)中間函數(shù)與實際中間函數(shù)的差值范數(shù)作為指標，使實際中間函數(shù)逼近最優(yōu)中間函數(shù)，從而優(yōu)化求解瞄準點配置。

實際中間函數(shù)U(x)(這里省略了參數(shù)xi)可描述為

(7)

U(x)具有兩個性質

U(x)≥0，

(8)

(9)

在離散空間內，(9)式可變?yōu)?/p>

(10)

文獻[1，6]分別在連續(xù)空間內求解了目標正態(tài)分布與均勻分布情況下的最優(yōu)中間函數(shù)。連續(xù)空間內的Uo(x)與f(x)強相關，因此當f(x)形式復雜時，求解Uo(x)將十分困難。

這里通過變分方法求解離散空間內的最優(yōu)中間函數(shù)。

考慮到x?Φ時有F(x)=0，因此在(5)式中代入U(x)后，PK可以寫為

(11)

結合(9)式，可以得到基于變分法構建指標函數(shù)為

H=F(x)exp[-U(x)]+λU(x),

(12)

式中：λ為變分求解條件極值過程中的拉格朗日乘子。

H的極值滿足(13)式，即歐拉方程，此時中間函數(shù)取最優(yōu)值Uo(x)，即

(13)

式中：Ux為中間函數(shù)U(x)對x的導數(shù)。從而解得

Uo(x)=lnF(x)-lnλ.

(14)

Uo(x)同時應當滿足(8)式與(9)式。為方便分析，引入有效區(qū)間Ω，在有效空間內最優(yōu)中間函數(shù)取值有效，即

Ω={x|Uo(x)>0}.

(15)

令最優(yōu)中間函數(shù)在Ω外取0，即

Uo(x)=0,x?Ω，

(16)

從而可以通過(10)式與(14)式解出Uo(x)，有

(17)

滿足(17)式的Uo(x)有無限多個，然而，根據(jù)區(qū)域射擊問題的具體情況，區(qū)間Ω的范圍‖Ω‖應當盡可能大，這樣在Ω內Uo(x)的極值Uo(x)就會盡可能小，從而利于實際瞄準點配置。

因此，求解最優(yōu)中間函數(shù)Uo(x)的問題變?yōu)榍蠼庾畲蟆浮膯栴}，這里引入概率閾值Fp進行求解。

取Fp定義域為

(18)

以Fp為閾值對F(xj)進行劃分，取Ω為

Ω={x|F(xj)≥Fp}.

(19)

對于任意Fp，可以根據(jù)(19)式得到有效區(qū)間Ω，之后根據(jù)(17)式解得λ. 得到λ后，還需要判斷是否有

Uo(x)=lnF(x)-lnλ≥0.

(20)

因此，需要優(yōu)化求解Fp，使Fp盡可能小，并且滿足(20)式，從而增大Ω的范圍。求解可以采用二分法、線性搜索方法、黃金分割搜索方法等。求解得到Fp后，就可以解出Ω、λ，進而根據(jù)(14)式得到離散形式的最優(yōu)中間函數(shù)Uo(x).

3 射擊瞄準點初值求解

采用梯度下降法進行瞄準點位置的求解，首先需要給定瞄準點初值。然而，目標概率密度函數(shù)可能在某些位置是間斷的，或者在某些位置取值明顯較低，如圖2所示。

對于這種情況，最終求解得到的有效區(qū)間由多個間斷的區(qū)間組成(見圖3)；同時需要按照一定的原則將武器分配到各個子區(qū)間內，在每個連通的子區(qū)間內根據(jù)分配的武器數(shù)量分別求解瞄準點初值。

3.1 間斷區(qū)間的瞄準點數(shù)量分配

設有效區(qū)間Ω由k個互不相交且內部連通的子區(qū)間Ωk組成，即

(21)

將m個瞄準點分配至每個子區(qū)間，對應第k個有效子區(qū)間的瞄準點數(shù)量為mk. 進行瞄準點求解可以類比為用mk個瞄準點“填補”子區(qū)間Ωk內的函數(shù)包絡，每個瞄準點對應的中間函數(shù)值具有一定的寬度及面積，為了充分“填補”，需要將總數(shù)為m的瞄準點數(shù)量根據(jù)每個子區(qū)間Ωk的寬度和面積分配至對應區(qū)間。因此，可以從兩種角度出發(fā)進行瞄準點數(shù)量分配；一是基于Ωk內最優(yōu)中間函數(shù)積分(面積)的瞄準點數(shù)量分配；二是基于區(qū)間測度(寬度)的瞄準點數(shù)量分配。

3.1.1 基于最優(yōu)中間函數(shù)積分的瞄準點數(shù)量分配

求取每個子區(qū)間Ωk內的最優(yōu)中間函數(shù)積分，記為Gk，有

(22)

(23)

3.1.2 基于區(qū)間測度的瞄準點數(shù)量分配

求取每個子區(qū)間Ωk的測度，即長度，記為Mk，有

(24)

(25)

在實際求解過程中，可以同時采用兩種方法求解間斷區(qū)間內的瞄準點數(shù)量，然后求解瞄準點配置，選取理論毀傷概率高的瞄準點配置作為結果。

3.2 連通區(qū)間內的瞄準點初值求解

根據(jù)有效子區(qū)間Ωk的性質，以及單個瞄準點的實際中間函數(shù)關于瞄準點位置的對稱性，當瞄準點均位于Ωk內時，可以采用梯度下降法逐漸逼近瞄準點配置的最優(yōu)值。當瞄準點初值位于Ωk外并遠離Ωk時，指標范數(shù)對于該瞄準點的梯度將趨近于0，從而無法通過梯度下降法求解最優(yōu)瞄準點。因此，瞄準點初值應當全部位于Ωk內。

以Ωk的中點xm,k為中心，以Ωk的h倍長hMk為總長度(其中h為初值參數(shù))，等間隔分配瞄準點位置，作為瞄準點初值，則有效子區(qū)間Ωk內的瞄準點初值xk,i,0為

(26)

式中：i表示第k個有效子區(qū)間內的第i個瞄準點；xm,k為

(27)

4 基于梯度下降法的射擊瞄準點位置求解模型

求解瞄準點位置的思路是使瞄準點配置對應的U(x)盡可能地接近Uo(x)，首先給出描述二者接近程度的指標，之后求解指標梯度，最后構建瞄準點位置的迭代求解模型。

4.1 中間函數(shù)差值指標梯度求解

設U(x)與Uo(x)的差值范數(shù)為I，有

(28)

I的形式較為復雜，取

(29)

由于I*與I單調性相同，為簡化計算，以I*作為指數(shù)函數(shù)，求解I*對瞄準點位置的梯度。

對于每個瞄準點位置xi，求解?I*/?xi，有

(30)

4.2 射擊瞄準點位置迭代求解模型

根據(jù)梯度(30)式，可以構建求解射擊瞄準點位置的迭代模型，設定速率因子為η(一般取η∈(0,1])，則有

(31)

式中：xi,q為第i個瞄準點上第q次迭代的值。記所有瞄準點位置向量為X，

X=(x1,…,xi,…,xm)T.

(32)

給定迭代允許誤差δ>0，則迭代終止條件為

|Xq-Xq-1|<δ.

(33)

5 仿真分析

目前，求解區(qū)域射擊瞄準點的方法主要有幾何法與函數(shù)逼近法。由于這兩種方法只適用于目標分布服從正態(tài)分布與均勻分布的情況，首先在目標分布服從正態(tài)分布、均勻分布情況下，對比幾何法、函數(shù)逼近法與本文梯度下降法。之后，在離散空間中給出不規(guī)則的目標分布情況，通過梯度下降法求解射擊瞄準點，驗證梯度下降法的有效性。

5.1 與現(xiàn)有方法對比

對于不同的目標分布情況，改變目標散布區(qū)域大小，通過不同方法求解射擊瞄準點，對比不同方法的毀傷概率與計算時間。在對比毀傷概率時，同時通過最優(yōu)中間函數(shù)給出當前誤差條件下的最優(yōu)毀傷概率。

設進行區(qū)域射擊的末制導搜索武器搜索半寬B為1 000 m，自控終點誤差Ex1為100 m，捕獲后毀傷目標的概率Q為0.7. 計算過程中，梯度下降法速率因子η取0.5，初值參數(shù)h取0.5.

5.1.1 目標分布服從正態(tài)分布

設目標分布服從正態(tài)分布，期望值取0，目標散布誤差Ex2取3 000～15 000 m，使用10個末制導搜索武器進行區(qū)域射擊，共設定10個瞄準點。采用幾何法、函數(shù)逼近法與梯度下降法計算射擊瞄準點，對應的毀傷概率如圖4所示，計算所需時間如圖5所示。

5.1.2 目標分布服從均勻分布

設目標分布服從均勻分布，分布區(qū)域長度Lx取6 000～30 000 m，中點為坐標原點，使用8個末制導搜索武器進行區(qū)域射擊，共設定8個瞄準點。采用幾何法、函數(shù)逼近法與梯度下降法計算射擊瞄準點，對應的毀傷概率如圖6所示，計算所需時間如圖7所示。

5.2 目標分布不規(guī)則情況

在兩種目標分布情況下通過梯度下降法求解區(qū)域射擊瞄準點。其中：目標分布情況A為初始正態(tài)分布經過探測、概率更新后的分布；目標分布情況B為人為設定的正態(tài)分布與均勻分布合成分布。首先通過梯度下降法求解不同分布情況的瞄準點配置，之后采用統(tǒng)計模擬法計算毀傷概率，驗證該方法的有效性。

在仿真計算中，使用8個末制導搜索武器進行區(qū)域射擊，共設定8個瞄準點，進行區(qū)域射擊的末制導搜索武器搜索半寬B為500 m，自控終點誤差Ex1為100 m，捕獲后毀傷目標的概率Q為0.7. 計算過程中，梯度下降法速率因子η取0.5.

為便于表示概率密度，設正態(tài)分布概率密度fN(x|μ,σ)為

(34)

式中：μ為正態(tài)分布的期望；σ為正態(tài)分布的均方差。

均勻分布概率密度fU(x|xmin,xmax)為

(35)

式中：[xmin,xmax]為均勻分布范圍。

5.2.1 目標分布情況A

(36)

探測概率PC(x)為(37)式，如圖9所示。

(37)

則經過探測、更新后的目標分布概率密度fA(x)為

(38)

取h為0.5，采用梯度下降法求解區(qū)域射擊瞄準點，得到更新后的概率密度與射擊瞄準點位置如圖10所示，最優(yōu)中間函數(shù)與射擊瞄準點位置如圖11所示。

同時，為分析初值對于方法求解瞄準點配置的影響，選取不同的初值參數(shù)h，使初值間距不同，并對比結果的毀傷概率與求解時間，如圖12所示。

5.2.2 目標分布情況B

人為設定目標分布概率密度fB(x)，為正態(tài)分布fN(x|-25Ex1,12Ex1)與均勻分布fU(x|4,30Ex1)之和。采用梯度下降法求解區(qū)域射擊瞄準點，得到目標分布概率密度與射擊瞄準點位置如圖13所示，最優(yōu)中間函數(shù)與射擊瞄準點位置如圖14所示。

(39)

同樣，為分析初值對于方法求解瞄準點配置的影響，選取不同的初值參數(shù)h，使初值間距不同，并對比結果的毀傷概率與求解時間，如圖15所示。

5.2.3 毀傷概率對比

為驗證方法有效性，對于梯度下降法求解得到的瞄準點配置，通過統(tǒng)計模擬法計算毀傷概率，并與(5)式計算得到的理論毀傷概率與最優(yōu)中間函數(shù)對應的最優(yōu)毀傷概率進行對比。

對于每一種目標分布，按照其概率密度隨機生成目標位置，之后按照射擊方案中的武器瞄準點配置與武器自控終點誤差計算毀傷概率。設目標位置為Xt，第r次試驗中，第i個武器位置為ξi，武器捕獲到目標的事件為Gc(i,r)，

(40)

統(tǒng)計第r次事件中，捕獲到目標的武器數(shù)量nc,r，計算第r次事件統(tǒng)計模擬毀傷概率PK,S,r為

PK,S,r=1-(1-Q)nc,r.

(41)

設共進行nS次試驗，則采用統(tǒng)計模擬法計算每種目標分布條件下的實際毀傷概率PK,S為

(42)

取試驗次數(shù)nS為10 000，置信度95%. 計算得到的統(tǒng)計模擬法毀傷概率、理論毀傷概率與最優(yōu)毀傷概率如表1所示。

表1 毀傷概率對比

5.3 結果分析

5.3.1 梯度下降法特性分析

在初值對于方法的影響方面。根據(jù)圖12與圖15，當初值參數(shù)h在(0,1)內取值時，瞄準點初值位于有效區(qū)間內，瞄準點結果對應的毀傷概率沒有差別，而計算時間隨h的變化而改變，并且改變趨勢在不同目標分布情況下不一致；而當初值參數(shù)h取1以上數(shù)值時，瞄準點初值位于有效區(qū)間外，瞄準點結果對應的毀傷概率開始下降，這是因為個別瞄準點已經離開有效區(qū)間(即最優(yōu)中間函數(shù)取值不為0的區(qū)間)，這些瞄準點對應中間函數(shù)差值范數(shù)的導數(shù)趨近于0，無法通過梯度下降法使這些瞄準點逐漸逼近最優(yōu)值。因此，采用梯度下降法求解瞄準點時，需要確保瞄準點初值位于有效區(qū)間內。

在方法有效性，即毀傷概率優(yōu)化程度方面。根據(jù)圖4、圖6可知，梯度下降法在目標服從規(guī)則分布條件下，其結果毀傷概率與現(xiàn)有最優(yōu)方法相當；而根據(jù)表1，在目標不規(guī)則分布情況下，梯度下降法求解得到的瞄準點配置對應毀傷概率與最優(yōu)毀傷概率接近。綜上所述，梯度下降法能夠有效地求解區(qū)域射擊瞄準點，使毀傷概率接近理論最優(yōu)值。

5.3.2 方法對比

通過綜合圖4～圖11和圖13、圖14的仿真結果，總結對比幾何法、函數(shù)逼近法、梯度下降法的特點如表2所示。

表2 方法特點對比

由表2可知：

在優(yōu)化程度方面，幾何法僅考慮了目標散布區(qū)域大小，沒有考慮目標在散布區(qū)域內的概率密度，因此僅在目標均勻分布條件下與其他兩種方法的優(yōu)化程度相當，而在目標分布不均勻條件下毀傷概率較低，綜合來看優(yōu)化程度最低；函數(shù)逼近法與梯度下降法都采用了變分方法求解最優(yōu)中間函數(shù)，在求解過程中以理論最優(yōu)值作為參考逐漸逼近求解，因此優(yōu)化程度較高。

在求解速度方面，幾何法直接將武器等間隔分配到目標散布區(qū)域內，因此求解速度最快，顯著高于其他兩種方法；函數(shù)逼近法雖然建立了實際中間函數(shù)與最優(yōu)中間函數(shù)的差值范數(shù)指標，但是采用無導數(shù)的數(shù)值逼近方法[19]，求解速度最慢；梯度下降法利用解析形式的導數(shù)，求解速度明顯快于函數(shù)逼近法，但是慢于幾何法。另外，梯度下降法采用迭代求解，可以根據(jù)任務時間要求隨時停止到一個次優(yōu)值。

在適用性方面，幾何法基于目標散布區(qū)域大小，只要能夠得到目標散布范圍，就可以通過結合法求解區(qū)域射擊瞄準點，但是如何確定目標散布范圍仍然是一個問題，因此適用性中等；函數(shù)逼近法需要解析形式的最優(yōu)中間函數(shù)，適用性較弱；梯度下降法利用離散形式的最優(yōu)中間函數(shù)，可以在離散空間內求解目標不規(guī)則分布情況的區(qū)域射擊方法，適用性最強。

6 結論

本文提出基于梯度下降法的離散概率空間區(qū)域射擊瞄準點求解方法。該方法通過在離散空間內描述目標的分布概率，并通過變分方法給出了適用于離散形式目標分布的最優(yōu)中間函數(shù)求解方法，從而可以適用于不規(guī)則的目標分布情況；最后給出了解析形式的梯度求解瞄準點配置模型，以迭代求解瞄準點配置。結果表明：該方法能夠在離散空間內求解目標不規(guī)則分布情況下的區(qū)域射擊瞄準點配置，適用性強、求解速度較快、優(yōu)化程度高；由于避免了以解析形式描述目標分布概率密度，能夠用于現(xiàn)有方法難以求解的情況，如人為指定目標分布的情況，或多批次攻擊中目標概率密度不斷更新條件下的情況，提升了區(qū)域射擊方法的適用性。