“割補”“拼組”三角形

回看數學的產生和發展，不難發現，伴隨數學一路走來的，正是人類認識事物的各種各樣的思維活動。如各種原始的計數法，內涵就是“直觀”“一一對應”等思維方式；幾何的產生，“形象思維”功不可沒，幾何的發展，“推理思想”貫穿始終；各種算法，往往就是“優化”的結果，就是一種“數學模型”……每個數學知識都是人類“思考”的結果，都承載著人們認識事物、改造世界的思維方式和思想方法。

所以，筆者一直認為，數學知識本質上就是一個思維的載體；教數學，最重要的就是要借助這個載體，讓學生在獲得知識與技能的同時，獲得更有意義的思維發展。

以“三角形面積”這節課為例，筆者教過多次，也指導過其他教師的展示課。筆者主張，該課的設計要牢牢扣住“發展思維”。

在這節課之前，學生剛學過“平行四邊形的面積”，他們學會了沿著平行四邊形的高剪下一個三角形，拼接在另一邊，就變成了一個長方形。這種“割補”的方法，蘊含了一種重要的思維方式，那就是“轉化”。

教“三角形面積”時，剛一上課筆者就請學生說說生活中三角形狀的物體，然后挑了學生最熟悉的紅領巾，讓他們計算面積。學生很順利地用“割補”的方法，將三角形轉化成了平行四邊形或長方形，求出面積。在學生都覺得很容易之時，筆者再讓學生嘗試另一個普通的三角形（不是等腰三角形），結果學生反復實驗，發現無論沿著哪條高（或中線）剪，都無法拼成一個學過的圖形。這時，筆者引導學生觀察、思考、對比，分析原因。學生發現，原來紅領巾是“割補”成了兩個一樣的三角形，所以才能轉化成功，而現在的普通三角形，不管怎么剪，都不能分成兩個一樣的三角形。“割補”的思路看似不通了，那怎么辦？學生主動思考，深入探究，最后發現不用“割補”而用“拼組”也可以實現轉化（拿兩個一樣的普通三角形拼成一個平行四邊形）……

上課的過程曲曲折折，也許會讓人覺得“啰唆煩瑣”。然而，這樣的過程，究竟給了學生什么呢？深刻理解三角形的面積公式自不必說，學生在探究的過程中，經歷了對“轉化”思想更深入的認識，思維的靈活性、深刻性得到發展；學生通過觀察、操作、想象，空間觀念這種重要的思維能力得以提升……

一個人從出生時的懵懂無知，之所以能成長，之所以會越來越聰明，之所以能適應生活，能開拓創新，最重要的因素，就是通過受教育，不斷地積累知識，不斷地發展著思維。作為富含理性思維的數學學科，自然也擔負著這個重要的使命，“數學是思維的體操”早已為我們點明發展思維是數學教學的本真追求。