基于最佳“最近發展區”實施教學

摘 要：在“最近發展區”開展教學已成為教學過程中必須遵循的原則.“最近發展區”處于動態變化之中，精準把握最佳“最近發展區”是實施有效教學的靈魂，本文以“點到直線的距離公式”為例進行說明.

關鍵詞：“最近發展區\"；動態原則

維果斯基指出，學生的發展有兩種水平，一是學生現有發展水平，二是在教師啟發下，在自身努力下，在合作交流學習中，學生可能達到的水平，這兩種水平之間的差距即為“最近發展區”.奧蘇貝爾認為，影響學習效果最重要的因素就是學習者已經知道了什么，其本質就是施教者必須清楚學生的“最近發展區”.章建躍博士形象地用“跳一跳可以摘到桃子”來描述“最近發展區”.依據“最近發展區”理論，教師的職責在于引導、幫助學生從已有的水平發展到他可能達到的水平.在實際教學過程中，教師如何尋覓“最近發展區”？如何選擇最佳“最近發展區”呢？本文以“點到直線的距離公式”為例來闡述.

一、教科書是這樣證明的

1.什么是點到直線的距離公式

需要說明的是：限于篇幅，本文后續論述中將不再考慮上述（2）與（3）兩種特殊情況.

二、教科書為何這樣證明

1.教科書編排順序

文[1]分為四章：《第一章 空間幾何體》《第二章 點、直線、平面之間的位置關系》《第三章 直線與方程》《第四章 圓與方程》.其中第三章的具體內容依次為：3.1直線的傾斜角與斜率；3.2直線的方程；3.3直線的交點坐標與距離公式.“點到直線的距離公式”正是安排在3.3中第三課時，即“3.3.3點到直線的距離”.

2.教科書為何采取證法1

文[1]為何采用上述證法1？有何依據呢？文[1]在“3.3.2兩點間的距離”中，就是利用上述圖2構建直角三角形，然后借助于勾股定理來證明兩點間距離公式的.故而文[1]順勢借助上述圖2并利用直角三角形面積等積法來推導（*），承上啟下，合情合理.

3.為何多數師生不認可證法1

筆者曾專門為此進行問卷調查，結果顯示92%的師生認為不可能想到等積法（即上述證法1）.為何多數師生不認可上述證法1呢？因為“3.3.3點到直線的距離”是在研究“3.3.1兩條直線的交點坐標”及“3.3.2兩點間的距離”基礎上，將兩點中的一個點換成直線，因此借助“3.3.1兩條直線的交點坐標”的內容求出垂足的坐標，進而利用“3.3.2兩點間的距離”的內容求解，才符合“最近發展區”原則，因此一線師生普遍認同以下方法：

③即為求出的垂足點Q的坐標，再依據兩點間距離公式即可得到上述（*）.

4.難道教科書沒有考慮到證法2

既然不符合“最近發展區”原則，那么文[1]為何還要這樣操作呢？難道教科書沒有考慮到證法2嗎？難道這是教科書的失誤？顯然不是！事實上，文[1]也關注到上述證法2，那教科書這樣安排到底有何用意呢？證法2中的②到③，涉及較多字母（7個），看似只是二元一次方程組，但運算較為繁雜.而證法1則有效規避了復雜運算，這也是教科書必須考量的因素，因為簡潔是數學永恒的追求.正如愛因斯坦贊嘆：“數學美，本質上終究是簡單性.”

不可否定，僅僅從推理演算的步驟與過程來看，證法2比證法1復雜得多，但證法2的論證過程，使學生前面所學的知識（兩條直線交點坐標、兩點間距離公式等）、能力（運算能力、推理能力等）、意志品質（敢于面對復雜運算、追求理性思維）都同步得到發展.更為重要的是，證法2尊重學生樸素的思維過程，充分發揮學生的主觀能動性.因此筆者認為，無論是從學生的原有知識，還是“最近發展區”，還是師生的心理認同感，都應該選擇上述證法2.更何況通過證法2中比較復雜的推理論證過程，教師可以培養學生勇于嘗試、敢于向繁雜運算挑戰的品質，進而提高數學運算素養.當然，作為補充，建議教科書將證法1適當安排在探究材料中，或安排在課后習題中，或安排在相應的教師教學用書中.

三、基于編排順序的“最近發展區”

事實上，上述證法2是利用文[1]第三章中的“3.2直線的方程”及“3.3直線的交點坐標與距離公式”來處理.我們還應該看到文[1]第三章中的“3.1直線的傾斜角與斜率”，同時結合初中學習過的直角三角形邊角之間的關系，便可得到以下方法：

四、基于核心素養的“最近發展區”

正是因為上述證法2涉及復雜推理與運算，對于學生而言，這是一種挑戰，更是一種機遇.教師可以借機培養學生的數學運算能力.提高數學運算核心素養的關鍵在于：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果.

“最近發展區”是教學過程中教師應該遵循的一條重要原則.但“最近發展區”既不是唯一關注焦點，也不是唯一依據，還要將它與培養學生數學核心素養無縫對接，順應課程改革潮流，符合最新頒布的課程方案與課程標準，從“最近發展區”中尋覓最佳“最近發展區”.

客觀地講，上述證法2符合“最近發展區”，但其論證過程與推理運算確實較為復雜，那我們能夠優化其運算過程嗎？答案是肯定的，那就是我們要理解運算對象.

1.從局部理解運算對象

評注：上述證法4從局部目標切入的，即把上述（*）中的x-x0與y-y0看作未知數，這樣既在最近發展區，又使得運算得到簡化，顯然證法4比證法2簡單.但必須看到，上述證法4依然有不少的步驟和不小的運算量，我們能否在證法4的基礎上進一步優化其過程呢？

2.從整體理解運算對象

評注：上述證法5極其簡捷，讓人賞心悅目，正如克萊因感嘆：“一個精彩巧妙的證明，精神上近乎一首詩.”

五、基于問題本質的“最近發展區”

點到直線距離的本質就是點P0（x0，y0）到直線l任意一點Q（x，y）的距離的最小值.點Q在運動變化，因此可以構造函數F（Q），即求函數F（Q）的最小值.由此得到以下構思：

評注：上述⑥到⑦的推理過程中借助了基本不等式.事實上，我們還可以在學生最為熟悉的“最近發展區”——直接配方上做文章，得到以下方法：

評注：優化運算過程，其本質就是在靈活應用基礎知識、基本方法基礎上的創新，凸顯數學思維的深刻性、敏捷性、批判性以及創造性.

六、基于動態變化的“最近發展區”

必須指出的是：“最近發展區”是一個動態原則，并非一成不變的.對于同樣的問題，隨著學生已有知識的增加、技能的提升，其“最近發展區”也在不斷地優化之中.

1.借助平面向量

當學生學習文[2]中的平面向量及文[3]中的空間向量知識后，還可以這樣構思：

評注：文[3]“空間向量”涉及點到平面的距離，借助空間向量代數運算處理點到平面距離是學生熟悉的方法.必須承認，在文[2]“平面向量”部分，教科書并沒有明確提出點到直線距離的向量運算.上述證法8采取類比方法，并結合“最近發展區”原則，將空間向量中的思想方法“退化”到平面向量中來，這正是“最近發展區”原則的一個突破.打破長期以來人們一直認為只有“高維”站在“低維”肩膀上，而沒有“低維”借用“高維”的固化思維模式.

2.借助直線參數方程

教科書采取模塊編排，螺旋上升.證法1至證法8都是借助必修模塊知識.事實上，還可以恰當利用選修模塊知識來加以解決，顯得更為簡捷.當學生學習文[4]中的直線參數方程知識后，聯想到直線參數方程中參數t的幾何意義，便可得到以下方法：

評注：學生普遍認為直線參數方程就是用來處理直線與圓錐曲線相交而產生的長度之間的關系的問題的.其實直線本身就是一種特殊曲線，利用直線參數方法來解決直線與直線相交的相關問題，也是直線參數方程的經典應用.

3.借助柯西不等式

當學生學習文[5]中的柯西不等式后，由于柯西不等式是處理最值的杠桿，因此借助柯西不等式就可以得到以下簡捷方法：

評注：上述證法10讓人賞心悅目，正如惠特霍斯所言：“一般地，解題之成功，在很大的程度上依賴于選擇一種最適宜的方法.”

七、恰當選擇最佳“最近發展區”

當然，除了上述10種證法外，我們還可以構造復數，構造二次函數，也可以利用平移等手段來論證上述（*）.事實上，由上述列舉的證明方法足以看出，“最近發展區”是一個動態的、廣義的原則.廣義“最近發展區”既可以是方法型“最近發展區”（比如證法1、證法10），也可以是距離型“最近發展區”（比如證法1、證法2、證法3等），也可以是能力型“最近發展區”（比如證法6、證法7、證法8等），還可以是知識型“最近發展區”（比如證法9、證法10等），更可以是素養型“最近發展區”（比如證法4、證法5等）.當“最近發展區”同時面臨方法、距離、能力、知識及素養等多重因素決策時，應當綜合考量，具體分析，辯證思考，從中選擇最適合本地、本校、本班學生的最佳“最近發展區”實施教學.

參考文獻

[1]人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書 數學 必修 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書 數學 必修4 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書 數學 選修2—1 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[4]人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書 數學 選修4—4 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[5]人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書 數學 選修4—5 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.