優化圖形解困惑直觀想象提素養

數學歸納法是證明與無限多個正整數相關命題的有力工具.其本質是用有限的步驟（奠基與遞推）取代難以實現的無限驗證，實現從有限到無限的飛躍.高中階段，數學歸納法主要應用在恒等式、不等式、整除性、三角及幾何等方面.其中，圓錐曲線（廣義）劃分平面區域問題是一個難點.這類問題的關鍵在于將文字、符號及圖形三種語言密切配合，詳細論述n=k+1與n=k之間的本質聯系.事實上，發現從n=k到n=k+1之間的內在聯系與規律確實不易，因此我們從有限（特例）情形嘗試，探究其中變化過程，或發現“遞推”關系式，然后再給予嚴格證明.可是，即便是從有限特例出發，也需要作出與這些特例相應的圖形，比如五個圓兩兩相交;六條拋物線兩兩相交，等等.本文通過具體案例，適當優化圖形，破解此類困惑，提升核心素養.

一、直線劃分區域

二、圓劃分區域

案例2：平面上有n個圓，每兩個圓相交于兩點，每三個圓都不交于一點，求證它們把平面分成了fn=n2-n+2個部分（區域）.

評注：案例2源自文[1]第79頁練習第6題.由于案例2已經給出了明確的結論，我們可以反推從n=k到n=k+1時增加的部分（區域），即f（k+1）-f（k）=（k+1）2-（k+1）+2-（k2-k+2）=2k.

這樣我們心中就知道增加了2k個部分，于是我們可以“自圓其說”地尋找適當的理由與添加相應的論述過程.由于約定“每兩個圓相交于兩點，每三個圓都不交于一點”，那么第k+1個圓與前面k個圓中的每一個圓都有兩個交點，也就是說，第k+1個圓的整個圓周被前面k個圓分割為2k段弧，其中每一段弧都把原來的部分一分為二，也就是說，每一段弧都相應地增加了一個部分，即增加了2k個部分（區域），故有fk+1=fk+2k.

倘若我們將案例2改為：

題2：平面上有n個圓，每兩個圓相交于兩點，每三個圓都不交于一點，這些圓把平面分成多少個部分（區域）？證明你的結論.

由于題2沒有結論，顯然題2比案例2難度大得多.這就需要我們首先尋覓結論（猜想），一般情況下都是從特殊到一般，然后猜想一般性結論，最后再用數學歸納法給予嚴謹證明.那我們該如何“從特殊到一般”呢？而且為了發現規律，我們總是盡可能多地列舉特例（至少五六個特例）.特例越多得到的“猜想”可靠性就越大;反之，則可能出現意想不到的錯誤.比如“對于正整數n，f（n）=n2+n+41的值是否為質數？”正常情況下我們從n=1開始驗證，發現n=1，n=2，n=3，一直驗證到n=40時都是質數，一般認為驗證了這么多，得到“結論”應該不會出現差錯.事實上，當n=41時，f（41）=41×43居然不是質數！這再一次說明數學歸納法是一種特殊的方法，也說明數學歸納法是多么嚴謹，更加說明數學歸納法三個步驟缺一不可.這正是趙龍山先生特意在文[3]中指出數學歸納法名稱的由來：“從n=k到n=k+1使用的是數學上的演繹推理，當然歸屬于‘數學’演繹證明，而演繹推理是專屬于數學推理的主要特征.正是因為它具有‘歸納’的味道，也有‘演繹’的色彩，因此命名為‘數學歸納法’恰如其分，實至名歸.”

我們知道圖形具有直觀性，當然想到畫圖，可是畫一個圓簡單，畫兩個相交圓也容易，畫三個兩兩相交且不過同一點的圓也不難，畫四個兩兩相交且不過同一點的圓呢？此時徒手就不容易！畫五個兩兩相交且不過同一點的圓呢？此時徒手幾乎難以準確操作！畫六個兩兩相交且不過同一點的圓呢？此時徒手幾乎不可能實現！讀者動手試一試就知道！筆者查閱很多教輔書，也請教不少專家，都沒有找到行之有效的解決辦法.怎么辦？圓是封閉平面圖形，筆者將圓想象為矩形（矩形也是封閉平面圖形），畫出以下圖形，一目了然，迎刃而解.

至此，通過優化圖形（即將封閉的圓、橢圓看作矩形;開放的雙曲線、拋物線看作開放的矩形），實現徒手作圖，解決了困擾多年的疑惑，正如惠特霍斯教誨：“一般地，解題之成功，在很大的程度上依賴于選擇一種最適宜的方法.”

文[4]明確指出，無論是概念教學，還是公式教學，還是原理（數學歸納法）教學，必須全面展示概念提煉、公式由來、原理應用的詳細過程，充分暴露思維，讓學生知其然，更知其所以然，達到精致概念、熟練公式、吃透原理.其實，提高直觀想象素養并非高不可攀，而應該落到實處，只要我們用心構思、用手操作，在凸顯思維過程中，巧妙借助圖形直觀性、形象性，培養直觀想象素養，同時促進數學抽象、邏輯推理、數據分析、數學建模等素養的和諧發展.

參考文獻

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書 數學 選修4—5 A版[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書 數學 選修4—5 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]趙龍山.有關數學歸納法教學中的邏輯問題[J].數學通報，1992（9）：39-45.

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].人民教育出版社，2018.