懸鏈線形斷面正常水深的直接計算公式

許曉陽 ，張根廣，陳學彪，劉 余，張子鈺

(西北農林科技大學水利與建筑工程學院，陜西 楊凌 712100)

懸鏈線形斷面不僅具有在施工、制模中易于計算和控制的優點，還具有防止土基凍脹破壞、抵抗外水壓力、受力條件好、輸沙率高、過水能力強及抵抗沖刷性能好等優點[1,2]，因此，懸鏈線形渠道在水利水電和灌溉排水工程中得到越來越廣泛的應用。

正常水深是工程設計和水力計算中一個重要參數，在實際工程中應用頻繁，且有很高的精度要求。近年來，國內外學者對一些簡單過水斷面正常水深的分析計算進行了深入研究，取得了較為豐富的研究成果，例如梯形斷面[3-6]、拋物線形斷面[7-12]和圓形斷面[13-15]等。對于懸鏈線形斷面正常水深，設計流量相應正常水深有解析解公式，如馮雪等[1]公式和黃開路等[16]公式，而非設計流量相應正常水深的計算需求解超越方程，在理論上無法直接求解，目前，僅有三家公式可供參考，即黃開路等[16]根據數學分析和水力學原理，得到懸鏈線形橫斷面正常水深求解的迭代公式，需反復迭代3～4次方可達到精度要求；滕凱[17]通過引入恰當的無量綱水深參數，對懸鏈線形斷面正常水深基本方程進行數學變換，采用優化擬合的方法得到近似計算公式；文輝等[18]通過對懸鏈線形斷面均勻流基本方程進行數學變換，對引入的無量綱參數與無量綱水深的關系進行分析，應用優化擬合原理得到擬合計算公式，計算精度不高是上述3家公式普遍存在的問題。綜上所述，有必要對懸鏈線形斷面正常水深的計算做進一步的研究。首先，依據懸鏈線形斷面幾何特征、水力要素和正常水深基本方程，得到設計流量相應正常水深的解析解公式；其次，對于非設計流量相應正常水深，通過引入恰當的無量綱參數，導出懸鏈線形渠道正常水深的迭代計算公式，同時利用優化擬合原理得到初值計算公式，將初值函數代入迭代計算公式得到正常水深直接計算公式。

1 正常水深的基本計算公式

根據《水力學》[19]知，正常水深的基本方程為：

(1)

式中：Q為渠道通過流量，m3/s；WP為濕周，m；A為過水斷面面積，m2；n為渠道糙率系數；i為渠道設計坡降。

1.1 懸鏈線形斷面幾何特征及水力要素

懸鏈線形斷面過水斷面如圖1所示。

圖1 懸鏈線形過水斷面Fig.1 catenary-shaped cross section

懸鏈線形斷面過水斷面曲線方程為：

(2)

設過水斷面寬度為B，則過水斷面水力要素分別為：

(3)

(4)

(5)

式中：a為懸鏈線形斷面形狀參數。

由式(5)可得：

(7)

(8)

將式(8)代入式(3)可得：

(9)

將式(6)、(7)、(8)代入式(4)可得：

(10)

1.2 懸鏈線形斷面設計流量相應正常水深的解析解

在設計懸鏈線形斷面時，a通常不給定，而是給出設計流量相應正常水深的水面寬度B和a的比值η，即B/a=η。

將式(3)、(4)代入式(1)，整理得：

(11)

由式(11)可直接求得a的值，進而可由式(5)直接計算正常水深h的值，即：

(12)

在懸鏈線形斷面的設計中，根據要求選定η的值，然后將n、Q、i、η的值代入式(12)，即可求得設計流量相應正常水深h的值。

1.3 懸鏈線形斷面非設計流量相應正常水深公式的推導

將式(9)、(10)代入式(1)，整理可得：

(13)

為方便分析，令：

(14)

式中：u為無量綱正常水深；k為無量綱綜合參數。

將式(14)代入式(13)整理可得：

(15)

式(15)為懸鏈線形斷面非設計流量相應正常水深的基本計算公式，即相應正常水深h的隱函數方程。

2 懸鏈線形斷面非設計流量相應正常水深的直接計算公式

2.1 無量綱正常水深u的取值范圍

由文獻[4]知，懸鏈線形斷面為水力最佳斷面的條件是：h/a=1.592 1，即u=2.592 1。在設計中為同時獲得優良的水力學條件和較好的經濟性，應該綜合考慮水力最佳斷面和經濟最優斷面這兩個因素，本文考慮這一工程實際，以h/a=1.592 1為中心，延展其取值范圍[h/5a,5h/a]=[0.318,7.961]作為h/a的取值范圍，而對于懸鏈線形斷面非設計流量的正常水深，取u∈[1.3,9.0]作為本文公式的適用范圍。

2.2 正常水深的迭代計算公式

由式(15)整理可得迭代公式為：

(16)

2.3 迭代公式收斂性的判斷

由《數值分析》[20]知，對于局部收斂的判斷條件為：u=φ(u)有不動點u*，若存在u*的某個鄰域|u-u*|≤δ，使迭代函數的一階導數在該鄰域內連續，且|φ′(u*)|<1，則該鄰域內任一點為初值的迭代都收斂于u*。

令：

(17)

對式(17)進行一階求導可得：

(18)

將式(15)代入式(18)整理可得：

(19)

(20)

對y求極限：

(21)

由式(20)知，當u>1時，y為增函數，由式(21)知，當u右趨近1時，y=0，則當u>1時，y>0時，可得：

(22)

令z=0.4u2/(u2-1)，對z求導：

(23)

由式(23)知，當u>1時，函數z為減函數，且當z=1時，u=1.290 994 45，則u∈[1.3,∞)時：

(24)

由上述分析可知，在u∈[1.3,∞)范圍內，迭代式(16)對任意u均收斂。

2.4 初值函數的選取及正常水深的直接計算公式

已知u∈[1.3,9.0]，即k∈[0.164 5，7.093 8]，在u的取值范圍內，以一定的步長值給定一組數值，將其代入式(15)中，即可求得相應的無量綱綜合參數k值。運用MATLAB，采用最小二乘法求解目標函數，對散點(k、u)進行擬合分析，在擬合過程中根據散點圖的曲線形狀選取合適的用戶模型，使得擬合公式相關系數最大，得到無量綱正常水深u的近似計算公式：

u=1.087k0.741 1+0.230 8k1.367+0.995 9

(25)

當斷面形狀參數a、流量Q、糙率n和坡降i已知的條件下，由式(14)可計算k的值，然后將k值代入式(25)求得初值u0，然后由式(14)、(16)得到正常水深的直接計算公式，即：

(26)

3 公式誤差分析及比較

3.1 本文公式誤差分析

在工程適用范圍內，即u∈[1.3,9.0]，當已知a、Q、n和i時，k可由式(14)求得，真值u可由式(15)相應求得，而在進行誤差分析時，在u∈[1.3,9.0]范圍內，給出無量綱正常水深u的值，根據式(14)、(15)、(25)、(26)，反求無量綱正常水深和正常水深，對計算值的誤差分析采用相對誤差來描述，見圖2和圖3。

圖2 初值公式誤差分析Fig.2 Relative error analysis of initial value formula

圖3 迭代一次公式誤差分析Fig.3 Error analysis of the first iteration formula

由圖2可見，當無量綱綜合參數k∈[0.164 5，7.093 8]時，無量綱正常水深初值最大相對誤差的絕對值小于0.014%，正常水深初值的最大計算誤差絕對值小于0.054%；迭代一次之后，無量綱正常水深最大相對誤差的絕對值小于0.002 6%，正常水深的最大計算誤差絕對值小于0.008 3%，可見，本公式為高精度計算公式，完全滿足工程需要。

3.2 各家公式對比分析

在目前為止，對于懸鏈線形斷面非設計流量相應正常水深的計算，共有3家公式可供參考，各家公式對比分析情況見表1。

由表1可見，設計流量相應相正常水深的計算值為精確解，而對于非設計流量相應正常水深計算公式，本文初值計算公式精度最高，高于黃開路等[16]公式、滕凱[17]公式和文輝等[18]公式，而迭代一次的直接計算公式精度數量級達到10-3。

4 應用舉例

選用文獻[21]算例：某渠道橫斷面的形狀為懸鏈線形, 其設計流量Q=3 m3/s，渠道坡降i=1/1 500，糙率n=0.014，選用η=3.315。

表1 懸鏈線形斷面非設計流量相應正常水深計算公式統計表Tab.1 statistics table of normal water depth calculation formula for undesigned flow rate of catenary-shaped section

注 ：滕凱[17]公式，當u∈[1.3,9.0]時，正常水深h最大相對誤差絕對值為0.162%。

在工程設計時，Q為設計流量，本文采用設計流量相應正常水深計算公式，得到解析解，同時采用非設計流量相應正常水深計算公式，計算正常水深，對公式精度進行驗證，計算步驟如下：

(1)當已知η、Q、n和i時，由式(12)可得，該渠道正常水深的精確解為h=1.308 82 m。

(2)將η值代入式(11)，可得a=0.762 56 m。

(3)在a、Q、n和i已知的條件下，由式(14)確定k值，k=1.363 1。

(4)將k值代入式(25)，即可得到迭代初值u0=2.716 518，由式(14)可得正常水深h0=1.308 948 m，則相對誤差為0.009 78%。

(5)將迭代初值u0代入直接計算公式(26)，得u1=2.716 384，由式(14)可得正常水深h1=1.308 456 m，則相對誤差為0.001 96%。

5 結 語

依據懸鏈線形斷面幾何特征、水力要素和正常水深基本方程，得到設計流量相應正常水深的解析解公式；通過引入恰當的無量綱參數，對正常水深基本方程進行數學變換，得到正常水深的迭代計算公式，同時利用優化擬合原理得到正常水深的初值計算公式，經一次迭代得到非設計流量相應正常水深的直接計算公式，最后對公式進行誤差分析及比較，結果表明，在工程適用范圍內，初值計算公式的最大相對誤差絕對值小于0.054%，直接計算公式的最大相對誤差絕對值小于0.008 3%，遠高于現有計算公式精度，且公式結構簡捷、適用范圍廣、物理概念清晰。

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