電偶極子電場的M atlab 定性模擬

金 華

（上海電機學院文理教學部，中國 上海 201306）

0 引言

等位線和電場線可以反映靜電場中電勢和電場強度的分布， 是描述靜電場性質的重要的物理圖像。 在大學物理的教學中， 一些帶電體激發的電場的等位線和電場線通常被舉例來闡明兩者在空間分布的特點和關聯。 一個典型的例子便是一對等量異號點電荷組成的電偶極子模型。 該模型在遠場區域激發的電勢和電場強度能解析表示，并可以進行數值化繪圖[1-2]，但對學生的數學要求較高。 在實際的教學中， 一般只要求定性描述電偶極子的等位線和電場線的分布。 在這種情況下， 本文引入Matlab 軟件中可視化的PDE 工具箱來模擬該模型的場線， 引導學生通過建模仿真， 掌握分析帶電體電場分布的能力。

1 數值建模

根據靜電場的麥克斯韋方程， 若帶電體或電極激發的電場中沒有電荷， 則場域中的電勢分布可以表示成拉普拉斯方程的形式，即▽2V=0。在x-y 平面下，該偏微分方程可寫成，

式中 代表邊界條件。在Matlab 的PDE 工具箱中，可通過有限元方法數值計算（1）式對應的偏微分方程[3]，得到空間各點的電勢V， 進而利用求出電場強度的分布。

本文中，將兩個半徑為0.04（無長度單位）、相距0.4、電勢分別為±5V 的球形電極來模擬電偶極子。 距離較遠處視為體系的邊界，電勢設為0V。 利用PDE 工具箱求解（1）式的拉普拉斯方程，便可以得到所建立的模型電勢和電場強度在場域中的分布。

2 Matlab 仿真結果

確定模型后， 在Matlab 軟件中的仿真模擬過程大致可以按照如下的步驟進行。第一步：在Matlab 軟件的命令窗口打開PDE 工具箱，選擇Electrostatics 模式。 第二步：在x-y 平面上，畫兩個圓，將它們命名成C1 和C2， 設 置 半 徑 為0.04， 圓 心 分 別 位 于 （-0.2，0.0）和（0.2，0.0）；畫一個橢圓，命名為E1，設置其中心位于坐標原點處，長軸為1.5，短軸為1.0，作為模型的外邊界。第三步：在Set formula 編輯框中將分析域表示成E1-C1-C2；分別設置E1、C1 和C2 的邊界值為0、5 和-5；在PDE Specification 對話框中將方程中的電荷密度設為0。 第三步：將分析域初始網格化，并進一步加密和改善網格。 第四步：進行運算，在Plot Selection 對話框中選擇Contour 和Arrows 選項，來繪制等位線和電場強度矢量。 每一步的具體操作和設置方法可參考文獻[3]中的說明。 最后，仿真模擬的結果見圖1 所示。

圖1 模擬得到的電偶極子電場的等位線和電場線

圖1 中，封閉曲線代表等位線，箭頭代表場點處的電場強度的方向，沿著箭頭可近似表示電場線的取向。 可以看到，等位線在垂直于電偶極子軸的方向上左右對稱分布，等位線的疏密程度代表了電場強度的大小；電場線由正電荷出發，指向負電荷，或者從正電荷出發終于無窮遠，從無窮遠處指向負電荷；電場強度的方向處處正交于等位線，且指向電勢降低的方向。 模擬的結果， 很好地定性描述了電偶極子電場等位線和電場線的分布。當然，圖1 也存在不足之處，例如場域中計算的電場強度取點較少，模擬的電場線走向不夠精細； 建模時選取的較遠處邊界過于隨意，可能會影響數值模擬結果，應盡可能將邊界取在相對電偶極子無窮遠的地方。

3 結語

通過Matlab 軟件的PDE 工具箱求解拉普拉斯方程， 對電偶極子激發的靜電場在兩維平面上進行了仿真計算。 模擬結果定性再現了電偶極子電場等位線和電場線在空間的分布。PDE 工具箱建模容易，操作方便，與精確解的數值化計算相比較，本文引入的模擬方法更加簡單，易于學生上手，且可以推廣到其他帶電體電場的仿真模擬。 若數值要求不是很高的情況下，該方法可在大學物理靜電場的教學中引導學生加以應用，來考察靜電場的分布。