淺談數值分析在機械系統動力學中的應用

摘 要：通過對數值分析的簡介，結合該方法在機械系統動力學中的應用實例，指導機械系統動力學在數值分析的基礎上更好更快的發展。

關鍵詞：數值分析；機械系統動力學；應用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.23.0041 數值分析的簡介

數值分析（numerical analysis）是研究分析用計算機求解數學計算問題的數值計算方法及其理論的學科，是數學的一個分支，它以數字計算機求解數學問題的理論和方法為研究對象，為計算數學的主體部分[1]。

數值分析課程關心的問題是如何設計有效的方法近似計算某個數學問題或數學模型的解[2]。由于數學問題或數學模型一般都是工程實際問題通過一定的簡化假設得到的數學表達式，所以該數學問題實際上是要解決的實際問題的一個近似問題，從這個意義上說，設計尋找數學問題的近似解的方法要比計算它的精確解更合適。

在自然、經濟、社會、科學、技術領域中，遇到相關問題都可以用相關學科知識和數學語言進行近似描述，這個過程稱為數學建模。而在實際過程中，這些結果往往需要大量計算才能得出，而且需要借助計算機的力量。所以數值分析主要研究的就是采用各種數學方法對生產實際中的實際問題進行建模，通過計算機計算其近似值的一個過程。同時數值分析在解決問題時按照實際情況提出實際問題，然后建立相關聯的數學模型，接著選用可靠地數值計算方法，進行計算機程序設計，最后上機近似算出結果的過程。借助計算機應用的數值分析具有計算能力強，誤差分析小，有可靠理論依據和數值實驗驗證的特點。

2 數值分析在機械系統動力學中的應用

數值分析在機械系統動力學中的應用極為廣泛。在某些生產機械中，等效力矩同時是等效構件轉角和角速度的函數。當等效力矩的函數式過于復雜而不易積分時，或者等效力矩以一系列離散數據給出時，就無法用解析法，而必須用數值法來求解。數值法是將微分方程分段處理，將時間區間劃分為很多相等的小區間，近似認為區間內的函數呈直線變化或按某種近似規律變化，然后由區間的初始值求區間的終點值，這樣一個區間一個區間地求下去。數值法在電子計算機上實施。雖然是一種近似算法，但一般均能保證工程應用所需的精度。現以牛頭刨床為例：

微分方程：

用龍格庫塔法求解，可得出迭代式：

式中h即為步長，即劃分的小的時間區段的長度。這樣，根據給定的初始條件， 可求出時刻的角速度。依此方法不斷求解下去，即可得到等效構件的運動規律。

除此之外，數值分析在多自由度振動方程的解耦中有很大的應用。目前， 我們通常采用模態疊加法和直接積分法這兩種方法對該線性系統的運動方程進行求解。 一般情況下，阻尼不存在對模態的正交性，我們采用復模態分析方法即先把近似狀態方程化為一階，接著用解特征向量和廣義特征值的方法組成變換矩陣，最后用復模態疊加求解。對存在比例或模態阻尼系統， 線用實模態分析的方法解耦， 而后用模態疊加的方法求解。對任意阻尼矩陣， 不需要采用特征值與特征向量列方程， 也不需要用坐標變換方法解耦，直接利用一種直接積分法，求出系統在時域內的動態響應，該方法比較適用于計算機運算。

由線性代數的理論可知，該空間的任意一個矢量都可以用這組基底的線性組合來表示：

經轉化處理得：

根據正則振型矩陣的正交性質，上式可化為：

由于該矩陣為對角形的特征值矩陣，所以可以把上式展開為：

顯而易見，以上方程組是n個單自由度的振動方程組成。單純從方程組來看，是通過線性變換把一個多元方程轉化為多個一元方程。從機械動力學來看，把一個具有n個自由度的振動問題轉化為n個單（一個）自由度的振動問題，也就是說把一個由n個自由度組成的振動問題分解為n個獨立的主振動。該運動狀態是通過各階主振動的疊加而來的。這種方法稱之為振型疊加法。振型疊加法可以解耦多自由度運動狀態，極大方面實際問題的解決。

3 結語

綜上，數值分析在各個的領域中應用非常廣泛。機械系統動力學涉及知識廣泛，但是核心是構建一個動力學模型，對模型進行分析，列出微分方程，最后進行求解。在這個過程中多次涉及到數值分析的知識。首先在構建模型時，這是一個近似的過程，也就是說我們在一直假設，直到逼近真實值。這點就像數值分析里的函數逼近，用一已知函數去逼近一個現實中難以解決的問題。同時在求解微分方程時難免要再次用到數值分析里對方程的解法。總之，數值分析在機械系統動力學中得到了充分的應用，機械系統動力學在數值分析的基礎上得到更快的發展。

參考文獻：

[1]李慶揚.數值分析[M].清華大學出版社有限公司，2001.

[2]封建湖，車剛明等.數值分析原理[M].科學出版社，2001.

作者簡介：付園（1986-），男，安徽宿州人，研究生，講師，主要從事機械設計制造及軟件開發等研究。