復變函數中閉曲線積分的類型及求法歸納

【摘要】復變函數中閉曲線積分在理論和實踐中都占據著重要地位，本文針對不同類型的積分進行總結和方法歸納，并給出相應的習題作為參考。

【關鍵詞】復積分 閉曲線積分 奇點

【Abstract】The closed curve integral in the complex function occupies an important position in both theory and practice. This paper sums up the different types of integral ， and gives the corresponding exercises as a reference.

【Keywords】Complex integral； Closed curve integral； singular point

【中圖分類號】G64；O17 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）44-0229-01

在復變函數中，積分法是研究函數性質的重要方法，一些定理的證明和推廣要用到積分，同時它又是解決實際問題的有力工具。復積分與實積分相比具有其自身優點，類型明確，針對性強，覆蓋面廣，因此實際問題中復積分的應用越來越廣泛。其中閉曲線積分在復積分中又占有相當重要的地位。鑒于上述情況，本文主要對復閉曲線積分進行系統總結歸納，力爭用更簡潔的方式將不同類型積分和求法呈現出來。

為敘述方便，若無特別說明，記C為任一封閉曲線，D為由曲線C圍成的單連通域。

1.復平面內處處解析函數的閉曲線積分

由柯西-古薩基本定理[1]知，單連通域內處處解析的函數，沿該區域內任一條封閉曲線的積分均為零。而整個復平面為單連通域，其上任一解析函數沿任一閉曲線積分為零。

基本初等函數如指數函數、冪函數、正弦函數、余弦函數、常函數等以及由它們的和、差、積構成的函數均為復平面內的解析函數，故閉曲線積分均為零。

如？蓐 z3edz=0，？蓐 e2zcoszdz=0，C為復平面內任一封閉曲線。

2.函數有奇點，但奇點在封閉曲線之外

因為奇點在圈外，所以函數在曲線圍成的單連通域內處處解析，仍用柯西-古薩基本定理得結論。

3.函數有奇點，奇點在封閉曲線內外均存在

根據復合閉路定理和上述第二種情況，只需考慮內部奇點即可。

3.1若曲線內僅有一個奇點z0，且被積函數為 的形式（z0記為I型奇點） ，其中f（z）在C內區域解析，則應用柯西積分公式[1]，得

3.2 若曲線C內僅有一個奇點z0，且被積函數可化為 的形式（z0記為II型奇點），其中f（z）在D內解析，則由高階導數公式[1]，得

3.3 若C內奇點不止一個，且既有I型奇點，又有II型奇點，則結合復合閉路定理[1]，柯西積分公式和高階導數公式來求解。

例1.求積分 dz，C：|z|=2的正向。

解：C內有兩個奇點z=0和z=1，在C內作兩個互不包含，互不相交的正向圓周C1和C2，且C1只包含奇點z=0，C2只包含奇點z=1，由復合閉路定理

3.4 若C內奇點不止一個，且為綜合性奇點（非I型、II型奇點），既若z=z0為奇點，則z0不僅僅只含在部分公式中，還存在其它位置，如 的奇點z=k？仔（k=0，±1，±2，…）， 的奇點z=0，不僅含在分母因式中，也含在指數位置等。對于此類積分，形式復雜，不是部分分式情況，則不符合前面公式的條件，所以前述方法不適用，因此為了計算有了更一般，且具有普遍適用性的方法——留數定理[1]，即

其中z1，z2，…，zn為f（z）在C內的n個孤立奇點，留數定理注重奇點的分類，它是對于不同類型奇點都適用的一種方法，再結合留數計算的規則[1] I、II、III閉合曲線積分均可解決，而柯西-古薩基本定理，柯西積分公式和高階導數公式均為留數定理的特殊情況。

例2.計算積分？蓐 dz，C：|z|=1的正向。

解：z=0為C內奇點，且z=0為e2z-1的一級零點，為z2的二級零點，故z=0為 的一級極點。

應用留數定理及規則I，

4.小結

綜上可以看出，針對不同類型閉曲線積分，留數定理是適用范圍更廣，也是比較簡單的一種方法，計算量小，但它需要判斷奇點的類型，所以應用留數定理求積分需要具備較好的理論基礎；而其它方法適用范圍有限，有時計算量大，但奇點類型可以直接觀察出來，不需要計算。幾種方法各有利弊，在計算過程中應根據問題實際情況選擇合適方法，從而方便我們計算。

參考文獻：

[1]西安交通大學高等數學教研室.復變函數（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.5，p75-87，p154-156.

作者簡介：

劉卉（1987-），女，河北唐山人，講師，碩士，主要從事基礎數學研究。