也談初中數學中“圓”的妙用

黃小燕

(江蘇省常州市溧陽市第五中學 213300)

一、問題背景

從事初中數學教學多年，研究了很多題，也教會了學生很多方法和技巧，學生不僅在考試中可以考到較好的成績，而且在做題過程中也積累了許多經驗，體會到了一些好方法的樂趣.現在全國的中考數學卷中，圓的問題都不少見.

二、一般策略

那主要考查圓的哪些知識點和方法呢？

1.角的運算

涉及圓心角，圓周角關系定理.

2.線段長的計算

涉及垂徑定理，切線的性質與判定定理，切線長定理，求圓中的弦長一般考慮作弦心距，構造直角三角形，用勾股定理進行運算.

3.位置關系

涉及點與圓，直線與圓.

4.圓與其它圖形的綜合運用

涉及勾股定理，相似等多種方法

三、圓的“妙用”

1.線段相等→圓

例1 如圖，在四邊形ABDC中，AB∥CD,AC=BC=DC=4，AD=6，則BD=____.

思路一構造全等三角形和直角三角形，如圖1.

思路二由圓構造直角三角形

如圖2，由AC=BC=DC知點A,B,D在同一個圓上，所以經常由點構圓，而根據直徑所對的圓周角是直角即可構造直角三角形.

解∵AC=BC=DC，以點C為圓心，AC長為半徑作圓C.延長BC交圓C于點E，連接DE，則∠BDE=90°，BE=8，AC=BC=DC=EC.

∵AC=BC，∴∠ABC=∠BAC.

∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB=∠BAC，∠BAC+∠DCA=180°.

又∵∠DCB+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠DCA.

∴△DCE≌△DCA(SAS)，∴AD=ED=6.

2.直角→圓

(1)求線段最值

例2 如圖3，直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=4,在△ABC內部以AC為斜邊任意作Rt△ACD，連接BD，則線段BD長的最小值是____.

圖3

分析此題解決的關鍵是要認識到點D始終是Rt△ACD的直角頂點，根據“90°的圓周角所對的弦是直徑”推斷AC是圓的直徑從而找出圓心O，就知道了點D是在線段OB上.

解取AC的中點O.

在△ABC內部以AC為斜邊任意作Rt△ACD,

則點D在以AC為直徑的圓上，

∴當D點在OB上時，BD的值最小.

(2)利用圓找等角

①連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標;

②在①的前提下，y軸上是否存在一點H，使∠AHF=∠AEF？如果存在，求出此時點H的坐標;如果不存在，請說明理由.

分析看到此類角相等，只有角的頂點不同，通常會聯想到圓中的圓周角，所以點A,E,F,H在同一個圓上.而由圖猜想并驗證出∠EAF=90°，則圓被確定.

解②存在．

圖4 圖5

由①可知G(-2，4)，∴E(-2，0)，F(-2，-5).

∵AE2=42+22=20，AF2=12+22=5，EF2=52=25,

∴AE2+AF2=EF2.∴△AEF為直角三角形，∠EAF=90°,∴點A在以EF為直徑的圓上.

(3)利用圓作圖

例4 在四邊形ABCD的AB邊上任取一點E(點E不與點A、點B重合)，分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成3個三角形．如果其中有2個三角形相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的相似點；如果這3個三角形都相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的強相似點．

圖6

如圖6，畫出矩形ABCD的AB邊上的一個強相似點．(要求：畫圖工具不限，不寫畫法，保留畫圖痕跡或有必要的說明．)

分析以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個交點即為所求．(說明略)

圓只是初中數學浩瀚知識海洋中的一隅，但與其它知識也緊密相連，學任何知識只要理解其本質，關鍵時刻就可融會貫通，事半功倍.學生不僅在中考中可獲得滿意的成績，更能通過解題方法技巧經驗的提煉和積累，體會成功的樂趣.