小小坐標系，發揮大作用

陳衛東

數學是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關系.我們在學習每一分支時，注意知識之間橫向聯系，換個角度看問題，也許可以使問題簡單化，起到事半功倍的效果.許多看似與解析幾何無關的問題，常需借助直角坐標系來解決，但很多同學卻想不起來，因而如何想到并合理建系，讓解析幾何的思想方法深入內心，則是遇到此類問題時先要解決的，而且是至關重要的.看過下面幾道典型例題，你一定會悟出許多道理來.

例1滿足條件的△ABC面積的最大值是________.

分析1我們可以采用解三角形與求函數最值的辦法.設BC＝x，根據面積公式用x和sinB表示出三角形，再利用余弦定理用x表示sinB，得到面積關于x的函數，再根據x的范圍，求出面積的最大值.此法運算量很大，未接觸到問題的本質.

分析2由題知條件AB為定值，△ABC的面積大小取決于AB邊上的高，也即需要探究動頂點C的運動變化情況，尤其是C點在何處時位置最高.點C滿足條件，它的位置怎樣變化？如果能確定頂點C運動的軌跡，面積問題就可以從“形”的角度解決.而點的軌跡，常用解析幾何的方法求出其方程.這道題想到建立坐標系求解的同學并不多，原因在于就題論題，未做深入審題和動態分析，沒有弄清問題的本質是求AB上的高的最大值，將問題歸結為求C點的軌跡方程問題.那么，如何建立直角坐標系使得后續解題最簡潔呢？實際上，相當于先畫出直角坐標系x Oy，然后將△ABC在平面內移動.由于線段AB的長度為定值，相當于確定了兩個定點，故可以考慮將AB所在直線與x軸重合，這樣yA，yB都為0，解答的時候可以大大降低運算量.以A點作為原點還是B點作為原點呢？或者以AB中點為原點？同學們可以思考下有何不同.

略解以AB所在的直線為x軸，AB中點為坐標原點建立直角坐標系x Oy，則A（-1，0），B（1，0）.設C（x，y），根據得，整理得點的軌跡為圓心在x軸上，為半徑，去除A，B以外的圓.△ABC可以看做AB為底，C點縱坐標的絕對值為高，要使△ABC的面積最大，則需有最大值，從而求出△ABC面積的最大值為.

點評建立直角坐標系處理此問題要比“常規方法”簡單明了.重要的是善于從圖形的運動變化中加以考察分析，有了軌跡及其方程的意識，就容易想到建立坐標系了；另外也要掌握建系的一些小竅門，本題中“以AB所在的直線為x軸”是關鍵，所取的原點不同，會使得得到的軌跡方程不一樣，但是圓的半徑是固定的，的最大值也是相同的.

例2已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足｜c-a-b｜＝1，則｜c｜的最大值為________.

分析注意到條件是兩個垂直的單位向量，；或者考慮建立直角坐標系，把條件｜c-a-b｜＝1坐標化得到c終點的軌跡，從而求出c模的最大值.

圖1

解析建立如圖1所示的直角坐標系，可設，，.

由｜c-a-b｜＝1得（x-1）2+（y-1）2＝1，即點C（x，y）的軌跡是以M（1，1）為圓心，1為半徑的圓.

所以｜c｜的最大值為.

點評平面向量中有關最值問題的求解通常有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，二是“數化”，即建立坐標系利用向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數、不等式、方程等方面問題，然后利用函數、不等式、方程的有關知識來解決.本題采用了“形化”與“數化”的結合，利用坐標運算將問題轉化為圓的知識解決.本題由于得知a，b是兩個垂直的單位向量，故建立直角坐標系可謂水到渠成，可見熟悉一些方便建系的基本特征也有利于我們構建解題思路.

例3如圖2，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分別是BC，PC的中點.

圖2

（1）證明：AE⊥PD；

（2）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E-AF-C的余弦值.

分析第一問轉化為證明線面垂直；第二問根據EH與平面PAD所成最大角的正切值為可以找出四棱錐的底面邊長和高之間的關系.立體幾何問題中，空間坐標系往往能發揮出巨大的能量，關鍵是如何建立合理的坐標系.考慮到AE，AD，AP兩兩垂直這一顯著特征，可以這三條邊為坐標軸建立空間坐標系，利用空間向量的方法來解決.

解（1）證明略.

（2）設AB＝2，H為PD上任意一點，連結A H，EH，如圖3.

圖3

由（1）知AE⊥平面PAD，則∠EH A為E H與平面PAD所成的角.

在Rt△EA H中，，所以當A H最短時，∠EH A最大，即當A H⊥PD時，∠E H A最大.此時，因此.又AD＝2，所以∠AD H＝45°，所以PA＝2.

圖4

由 （1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，計算可得所求二面角的余弦值為.（具體解答過程請同學們補齊）

點評立體幾何問題中，求二面角的三角函數值較為常見，關鍵是找出這個二面角，而首要的便是合理地建系.只有建立最合理的坐標系，才有可能直奔主題、少走彎路.三條線段兩兩垂直是空間坐標系的顯著特征，應成為我們建系的首選.