例談如何結合圖形判定二面角的平面角

江榮芬

求二面角的平面角是立體幾何學習中的重點，也是高考的熱點之一.解題時可以先求兩個平面的法向量所成的角，由于一個平面的法向量不唯一，長度不等且有兩個方向，二面角的平面角范圍是0≤θ≤π.二面角的大小與其兩個面的法向量所成的角是“相等”還是“互補”成為難點和關鍵，本文擬給出一個簡單的判斷方法.

先來分析一下二面角與兩個法向量n1，n2所成角的關系，以便突破上述難點：

已知二面角α-l-β，在二面角內任取一點P，過點P作PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，則l⊥平面PAB，設l∩平面PAB于點O，連結OA，OB，則OA⊥l，OB⊥l，記∠AOB＝θ，所以θ為二面角α-l-β的平面角.平面α的一個法向量為n1，平面β的一個法向量為n2，將這兩個法向量的起點均移至點P，當兩個法向量同時指向平面或者同時遠離平面（如圖1，圖2），則二面角的平面角θ與兩個法向量n1，n2所成的角〈n1，n2〉互補，即θ＝π- 〈n1，n2〉，概括為“同向互補”；

將這兩個法向量的起點均移至點P，當兩個法向量一個指向平面，另一個遠離平面（如圖3，圖4），則二面角的平面角θ與兩個法向量n1，n2所成的角〈n1，n2〉相等，即θ＝〈n1，n2〉，概括為“異向相同”.

圖1

圖2

圖3

圖4

理清了概念，我們再來看兩道例題：

例1如圖5，三棱柱ABC-A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C.

（1）證明：AC＝AB1；

（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角的余弦值.

圖5

解析（1）略.（2）因為AC⊥AB1，AC＝AB1，O為B1C的中點，所以AO＝CO.又因為AB＝BC，所 以 △BOA≌△BOC，所以OA⊥OB，從而OA，OB，OB1兩兩互相垂直.以為正交基底，建立如圖6所示的空間直角坐標系O-x yz，不妨設，則.因為∠CBB1＝60°，所以△CBB1為正三角形，則，故B1（0，1，0），A（0，0，1），.設平面AB1A1的一個法向量為n1＝（x1，y1，z1），則所以

圖6

不妨令x1＝1，則，所以平面AB1A1的一個法向量為.

點評二面角的平面角求法：第一步分別求出兩個平面的法向量；第二步計算這兩個法向量所成的角的余弦值；第三步借助具體的圖形判斷二面角的平面角與兩個法向量所成的角是相等還是互補關系，然后得出結論，這一步始終困擾著大家.先將向量n1＝起點放在坐標系原點O，觀察向量n1的方向，再將其起點移至二面角內的任意一點，判斷得向量n1指向平面AB1A1，按同樣的方法判斷得向量n2遠離平面A1B1C1，故二面角C1的平面角與兩個法向量n1，n2所成的角相等.

例2如圖7，四棱錐P-ABCD中，底面是以O為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，，M為BC上一點，且.

（1）求PO的長；

（2）求二面角A-PM-C的余弦值.

圖7

解析連結AC，BD，OM，因為四邊形ABCD是以O為中心的菱形，則AC∩BD＝O，且AC⊥BD.以O為坐標原點，為正交基底，建立如圖7所示的空間直角坐標系O-xyz，因為∠BAD＝，所以，所以.由題意知，所以設P（0，0，a），a＞0，則.因 為MP⊥AP，故，所以，由a＞0得a＝，即PO的長為.

點評將向量起點放在坐標系原點O（原點O也為二面角APM-C內的一點）觀察向量n1的方向，判斷得向量n1指向平面AMP，按同樣的方法判斷得向量n2也指向平面PMC，故二面角APM-C的平面角與兩法向量n1，n2所成的角〈n1，n2〉互補.