一道向量極化恒等式例題的應用

唐潤東

一、極化恒等式定義

極化恒等式的幾何意義是：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形ABCD的“和對角線”與“差對角線”平方差的，即，其中M為對角線AC與BD交點.

二、基于定義的思考

在研究向量數量積的問題中，傳統思路是將兩點乘的向量進行分解（即一個向量轉化為兩個或兩個以上向量之和），將不便于求的數量積化為多個可求的數量積“逐個擊破”，或是建立平面直角坐標系用坐標法對要求的數量積進行代數運算來求得.而向量極化恒等式的出現，引起了筆者的注意，因為它用顯而易見的平方差的方式巧妙地將數量積轉化為兩向量和的模平方減去兩向量差的模平方，這是在常規題型中從未見過的轉化方式.筆者進一步思考：這個向量極化恒等式怎么應用在解題中呢？在什么條件下應用向量的極化恒等式最為便捷和巧妙呢？

三、向量極化恒等式的應用

通過對大量向量數量積問題的研究，筆者發現向量極化恒等式在一類問題中有極高的應用價值：即當｜a+b｜或｜a-b｜中一個為定值時分析a·b的問題.下面我們通過幾道例題體會向量的極化恒等式在研究該類問題時的優越性與便捷性.

例1若平面向量a，b滿足｜2a-b｜＝3，求a·b的最小值.

若運用傳統思路，為構造a·b的數量積形式，需將條件式兩邊平方后再對所得式應用基本不等式，再應用向量模與數量積的不等式求得最小值：

因為｜2a-b｜＝3，所以，得.

又4｜a｜2+｜b｜2≥4｜a｜｜b｜≥-4a·b，（當且僅當2a＝-b時等號成立），所以a·，即.

若將2a看作一個整體，｜2a-b｜＝3是定值，又a·b可看作，故本題完全符合“差對角線長為定值”的模型，在本題應用向量極化恒等式能大大簡化步驟：

解（當且僅當2a＝-b時等號成立），所以.

例2已知在△ABC中，BC＝2，若對任意實數t，都有，t∈ R.求的最小值.

解設，因為t+（1-t）＝0，所以M，B，C三點共線.

接下來，若運用一般做法：以A為原點，方向為x軸正方向，建立平面直角坐標系，設B（x-2，-3），C（x，-3），x∈R，則，，故當x＝1時，.

圖1

圖2

取BC中點N，則

例3在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N分別為斜邊AB上的兩個動點，且，求的取值范圍.

一般做法需建立坐標系，以C為原點，方向為x軸正方向，建立平面直角坐標系，則A（2，0），B（0，2），故直線AB：y＝2-x.

設M（x，2-x），N（x+1，1-x），（x∈[0，1]），則，

當x＝0或x＝1時，，所以.

圖3

取M N中點F，則F的極端位置是線段AB的四等分點，那么

當F位于AB中點時，此時，；

當F位于AB四等分點時，，此時，，

點評當題目滿足差對角線為定值時，利用向量極化恒等式可將研究數量積問題轉為研究單一模長的問題，大幅度地將代數運算轉化為簡單的幾何分析，大大簡化解題過程.

例4設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足，且對于邊AB上任一點P，恒有，則（ ）

A.∠ABC＝90° B.∠BAC＝90°

C.AB＝ACD.AC＝BC

解取BC中點M，則.

圖4

過點C作CD⊥AB于點D，則CD∥P0M.又M為BC中點，所以P0為BD中點，所以，所以D為AB中點.

又CD⊥AB，所以CD為邊AB的中垂線，因而AC＝BC，故選D.

點評在分析已知數量積最值問題中，利用向量極化恒等式，可將數量積的條件轉化為模長條件，將代數分析變為幾何分析，使分析過程變得便捷明了.