準確理解“極值”

陳水青

導數在高中數學中是一個很重要的知識點，在高考中有關導數的解答題常考常新，利用導數研究函數的單調性與極值是解決函數問題的重要方法.筆者在教學過程中發現很多同學在解決極值問題時，因對極值的概念理解不透而導致解題錯誤.

一、認清本質

極值是函數的局部性質，是函數在某點處的值與其附近“左、右”函數值比較的結果.

圖1中f（x1）比左、右側很小范圍內的函數值都大，故f（x1）是一個極大值；上圖中f（x2）比左、右側很小范圍內的函數值都小，故f（x2）是一個極小值.同樣，f（x3）、f（x4）分別是函數f（x）的極大值、極小值.但是f（a）與f（b）不是極值，因為它們不是與其附近“左、右”函數值比較的結果.

圖1

二、走出誤區

問題：函數f（x）＝x3+1，其導函數f′（x）＝3x2，顯然f′（0）＝0，那么f（0）是f（x）的極值嗎？

f（x）是 R上的增函數，f（x）在“0”的左側單調增、在“0”的右側還是單調增，f（0）比左側很小范圍內的函數值都大，但是同右側相比，則要小，故f（0）不是極大值；同樣，f（0）也不是極小值.

實際上，f′（0）＝0只是反映出在“0”的瞬時變化率為“0”（從圖象上可以看出上升速度先是越來越慢，然后又越來越快）.可見，若f′（x0）＝0，x0未必是極值點.

三、實例分析

例函數f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1處有極值10，求實數a，b的值.

錯解f′（x）＝3x2+2ax+b，由題意知f′（1）＝0，且f（1）＝10，即2a+b+3＝0，且a2+a+b+1＝10，解得a＝4，b＝-11或a＝-3，b＝3.

剖析錯解中認為f（x0）為極值的充要條件是f′（x0）＝0，實際上f（x0）為極值的充要條件是f′（x0）＝0且x0附近兩側的單調性相反，所以應對求出的結果進行驗證：

當a＝4，b＝-11時f′（x）＝3x2+8x-11＝（3x+11）（x-1）.

在x＝1附近兩側的符號相反，即單調性相反（如圖2（1））.

圖2

所以a＝4，b＝-11滿足題意.

當a＝ -3，b＝3 時，f′（x）＝3（x-1）2.

在x＝1附近兩側的符號相同，即單調性一致（如圖2（2）），f（1）不是極值.

不符題意，舍去.

所以a＝4，b＝-11.

四、經驗總結

1.若f′（x0）＝0，f（x0）未必是極值；f（x0）是否是極值，取決于x0左、右兩側的單調性是否相反，解題時要注意檢驗其左、右兩側的導數符號是否相反.若f′（x0）≠0，則在x＝x0處肯定沒有極值.

2.極值是函數的局部性質，是函數在某點處的值與其附近“左、右”函數值比較的結果，極值點不可能出現在區間（不論開區間還是閉區間）端點處.

3.極值與最值聯系緊密，但也要注意其區別.例如求函數f（x）＝x3+4x2-11x+16在[0，3]上的最值.據圖2（1）可以看出，在區間[0，3]上，實際上只有一個極值點，且為極小值，故在[0，3]上的最小值就是極小值10，而最大值則是f（0）與f（3）的比較.在注意與區間端點處的函數值比較的同時，也是靈活地根據圖象，避免無效的計算，如本題計算最小值時，便不用將f（1）＝10與f（0），f（3）比較.但若將區間擴大至[-2，3]，便需要全面比較了.靈活運用，方為正道.

4.要注意轉化.有些題目看起來與極值無關，實際上則由極值把關最關鍵處.如：已知函數f（x）＝x3+ax2+x+1，若要f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍.由f′（x）＝3x2+2ax+1知，導函數圖象開口向上，若Δ≤0，則原函數圖象如圖2（2），符合題意；若Δ≥0，觀察圖2（1），則需極小值大于0或極大值小于0即可.