不可小覷的漸近線

張春琦

縱觀近幾年各省高考題，直線與雙曲線的關系問題可以說不再是重點，而雙曲線幾何性質之一的漸近線，其重要性就凸顯出來，有必要認真研究.

我們先來欣賞你可能會忽略的、幾種常見函數圖象的漸近線：

2.正切函數y＝tanx的圖象中，x＝是它的漸近線；

原來除雙曲線外，還有這么多函數圖象有著漸近線.那么研究雙曲線的漸進線有哪些作用呢？

一、作圖的需要

了解漸近線的定義，會使函數漸近線的學習更為自然、簡明，同時解釋或證明中學數學所涉及的一些函數圖象的漸近線也就有了依據，進而有利于它們的作圖.

例如，在雙曲線的幾何性質中，漸近線是雙曲線所特有的性質，過雙曲線實軸的兩個端點與虛軸的兩個端點分別作對稱軸的平行線，它們圍成一個矩形，其兩條對角線所在直線即為雙曲線的漸近線.

我們還可以利用漸近線確定雙曲線的“張口”大小.

二、數形結合的需要

在解決有關雙曲線問題時，需結合漸近線從數形結合上找突破口.

證明設雙曲線b＞0），直線，代入得，化簡得，僅有一解，即雙曲線與直線僅有一個交點.

同時，易證并非切線.

我們首先來看看上個月本雜志的一道例題：

例1已知雙曲線與直線y＝kx+1只有一個公共點，則滿足條件的直線有幾條？

思路將方程與方程y＝kx+1聯立方程組，得（1-4k2）x2-8kx-8＝0，再就1-4k2是否為0兩種情況進行討論，得或者，答案為4條.

圖1

思路2直線y＝kx+1，過 定 點（0，1），可以作出兩條分別與漸近線y＝平行以及兩條雙曲線的切線，一共4條，這樣可以避開上面的計算.

問題進一步引申：如圖1所示，定點可以分布在5個區域，過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有幾種？

區域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；

區域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；

區域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；

區域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；

區域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.

小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有0，2，3，4條.

以上抓住了漸近線與圖象的位置的特殊關系，簡化了解題，從而達到優化思維的目的.

三、深入研究雙曲線性質的需要

例2已知雙曲線的兩條漸近線方程為x±2y＝0，求此雙曲線的離心率.

解設雙曲線方程，即，則，即.

證明或者.（或用數形結合證明之）

特別地，等軸雙曲線（即實軸和虛軸等長的雙曲線），其漸近線方程為x±y＝0，它們互相垂直，且平分雙曲線實軸和虛軸所成的角，離心率為.

例3求與雙曲線有共同的漸近線，并且過點的雙曲線的標準方程.

解與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程都可以表示的形式.

評注對于雙曲線，當t＞0時，所求雙曲線的焦點在x軸上，這時其漸近線方程是；當t＜0時，所求雙曲線的焦點在y軸上，這時雙曲線的標準方程是，其漸近線方程是.

因此，不管t的取值如何，它們的漸近線相同，而將雙曲線設為的形式，本質就是設有相同漸近線的雙曲線系，再有一個條件（如雙曲線的一個點）就可以確定曲線的方程.

限于篇幅，不另外舉例，再提供以下三個性質，同學們還可以自己補充有關雙曲線漸近線的知識.

1.雙曲線上任意一點到兩漸近線的距離的乘積是一個常數.

2.從雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于虛半軸的長b.

四、結束語

漸近線，他像一位正直慈愛的師長，呵護指引著曲線成長的人生軌道，循規蹈矩走向遙遠的未來而從不對他強制干涉.

有了漸近線，我們可以較準確地畫出曲線的草圖；

有了漸近線，雙曲線的軌道有了可靠的護欄；

有了漸近線，我們對“曲”、“直”之間存在著這種和諧統一之美，有了更深刻的認識和理解.