橢圓與雙曲線比一比

張圣官

讓我們先來嘗試以下兩道題：

題1某圓錐曲線上一點P到兩個焦點F1，F2的距離滿足PF1∶F1F2∶PF2＝2∶3∶4，求該圓錐曲線離心率的值.

題2（1）設橢圓的左、右頂點分別為A1，A2，線段CD是垂直于橢圓長軸的弦，連結A1C，A2D并延長相交于點P，則動點P的軌跡方程是________；

初學圓錐曲線時，有畏難情緒很正常.全新的知識，而且是重難點比較集中的地方，那么該怎樣攻克這個“攔路虎”呢？在比較中學習，不失為一種高效的方法.

在題1中圓錐曲線可能有兩種形態：橢圓或雙曲線，離心率的值為.在題2中運用交軌法求軌跡，結果發現在橢圓1中動點P的軌跡方程就是雙曲線；而在雙曲線中動點P的軌跡方程恰好是橢圓.

其實，橢圓與雙曲線有許多相關、相似又相異的性質，需要我們在學習的過程中運用比較法進行探討，在辨析中加深對相關知識的掌握.

一、比較中認識橢圓與雙曲線

初學時，標準方程和圖象是我們主要的抓手.

標準方程中，需要對a，b，c三個量清楚明了，焦點所屬的軸不同，其最終方程也會不同；圖象則是包羅萬象，既要能很快根據已知條件畫出草圖，又要能根據圖象得出基本量.

圖1

細心觀察、琢磨教材中的定義，我們可以發現，橢圓和雙曲線的定義與標準方程的差別僅在“和”與“差”上，抓住矛盾的兩個方面，可以將橢圓的性質類比到雙曲線上.隨之而來的圖象，可以看到橢圓的準線像彈簧的兩端，拉著橢圓往外“跑”，而雙曲線的準線則在中間，仿佛阻撓著其兩支往中間擠，還有著標志性的漸近線.

二、比較中探究橢圓與雙曲線性質

探究一：橢圓兩焦點為F1，F2，點Q為橢圓上除頂點外的任一點，過點F2作∠F1QF2的一個外角平分線.的垂線，垂足為P，則點P的軌跡是圓的一部分.

（1）證明此命題為真命題.

（2）你能否類比到雙曲線上，給出一個類似的命題？并證明.

分析仔細體會動點的運動過程，出現外角平分線，才有垂足，于是可自然猜想到將“外角平分線”類比為“內角平分線”；在具體論證的過程中我們可以邊探究邊印證，進而歸納總結，得出結論.類比不是簡單的生搬硬套，必須遵循兩者定義的區別.

探究二：已知橢圓b＞0）上A，B兩點關于原點對稱，點P是橢圓C上任意一點，且點P與A，B兩點均不重合，設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，那么k1·k2是否為定值？

圖2

（1）猜想結論，并證明.

（2）類比到雙曲線中，寫出一個類似的命題，并證明之.

分析探究過程可以從特殊位置開始，猜出結論，再進行一般論證.類比到雙曲線時，引導根據兩個曲線的定義差別，找出類比的規律.

探究三：如圖，點P（x，y）（x＞0，y＞0）是雙曲線上的動點，F1，F2是雙曲線的焦點，點M是∠F1PF2的平分線上一點，且.某同學用以下方法研究：延長F2M交PF1于點N，可知△PNF2為等腰三角形，且M為F2N的中點，得.類似地：點P（x，y）（x＞0，y＞0）是橢圓上的動點，F1，F2是橢圓的焦點，M是∠F1PF2的平分線上一點，且，則的取值范圍是_________.

圖3

圖4

前面都是橢圓類比到雙曲線，此題是由雙曲線類比到橢圓，而且與探究一有相似之處，可以加強我們對橢圓、雙曲線定義的理解，另一方面也是類比思想的深化.

三、比較中區別橢圓與雙曲線不同點

橢圓與雙曲線同屬于圓錐曲線，但形狀不同，不是所有性質都一樣.在橢圓中，有四個頂點，兩條準線，圖形是封閉的；在雙曲線中，有兩個頂點，兩條準線，圖形是開放的，而且有兩條漸近線.有關漸近線的問題是雙曲線所特有的，而橢圓就沒有.有些結論相似但不相同.例如：過橢圓0）的左焦點F作直線與橢圓交于A，B兩點，則以線段AB為直徑的圓與橢圓的左準線相離；過雙曲線的左焦點F作直線與雙曲線的左支交于A，B兩點，則以線段AB為直徑的圓與雙曲線的左準線相交.這是由于它們離心率范圍不同造成的.類比也不能太“任性”.

例1△ABC中，B，C分別是雙曲線的左、右焦點，A在該雙曲線的右支上運動.△ABC的內切圓圓心為I，求證：I的橫坐標為定值.

證明設內切圓分別與AB，BC，CA切于D，E，F，則AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.因為A在該雙曲線的右支上，所以4＝AB-AC＝BD-CF＝BE-CE.設E（x0，0），則，所以x0＝2.因此I的橫坐標為定值2.

例2如圖，設橢圓的右焦點為F，直線l與曲線C：x2+y2＝16（x＞0）相切，且交橢圓E于A，B兩點，求證：△FAB的周長為定值.

圖5

解設切點為T，連結OT，OA，設A（x1，y1），x1＞0.

在圓x2+y2＝16中，，將代入得.

同理可得BT+BF＝5.即△FAB的周長為定值10.