基于廣義交替數值通量的LDG方法求解Burger’s方程

張榮培, 王 迪, 劉 佳

(1. 沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034; 2. 沈陽師范大學 大學外語教學部, 沈陽 110034)

0 引 言

Burger’s方程在氣體動力學、湍流、波的傳播等研究中有著廣泛的應用,該方程最初是由Bateman提出的,之后由Burger作為流體流動的數學模型定義為Burger’s方程。對于Burger’s方程的解析解,Hopf[1]和Cole[2]曾分別表明,在任何初始條件下,都可以用傅立葉級數的形式表示。然而,當初值不夠光滑時,求精確解存在一定的困難。許多研究者已經研究出求解Burger’s方程的各種數值方法,如有限元方法[3]、有限體積法[4]、有限差分方法[5]等。

局部間斷Galerkin(LDG)方法最初是由Cockburn[6]和Shu[7]在Bassi和Rebay針對Navier-Stokes問題所做工作的啟發下提出。LDG方法具有一定的靈活性和優勢,例如精度的階數可以在每個單元網格中局部確定,所以可以很容易地被設計為任意階精度。當然它也適用于復雜的網格區域和h-p自適應計算,并具有良好的并行化。正是因為該方法的這些特點,使其在實際計算中被廣大研究者選用,例如:文獻[8]是耦合的Burger’s方程對應的LDG方法;鄭亞敏[9-10]針對一維常系數對流擴散模型方程,討論了當含有Nuemann邊界條件和Dirichlet邊界條件時,局部間斷有限元方法(LDG方法)的穩定性;謝珊珊[11]對非線性對流擴散方程的LDG方法進行了詳細的誤差估計;劉曉陽[12]對一維對流擴散方程LDG方法進行了超收斂性分析;許錦程[13]針對局部間斷Galerkin方法關于非光滑初值作出了誤差估計。對于LDG方法的構造,數值通量的合理使用能夠保證系統的穩定性和高精度。以上文章中采用的都是純粹的交替數值通量。在最近的研究中,Cheng[14],Meng和Zhang[15]構造了通過選取廣義數值通量來求解對流擴散方程的LDG方法,并且在得到最優誤差估計的基礎上,構建和分析了新的廣義Gauss Radau投影。

將局部間斷Galerkin(LDG)方法應用于求解Burger’s方程,首先利用Hope-Cole變換將Burger’s方程轉化為一個熱傳導方程,隨后將其改寫成含有一階導數的等價系統;該系統Galerkin(DG)方法離散后可得到引入變量的解;最后,通過變換得到原方程的數值解。

1 問題描述及預備工作

1.1 Burger’s方程

考慮在初值條件u(x,0)=f(x),a

ut+uux-vuxx=0

(1)

其中v是一個常數。

(2)

對應的初值條件即變為

(3)

對應的邊界條件變為Nuemann邊界情況即wx(a,t)=0,wx(b,t)=0。

1.2 計算區域剖分

其中:V=(P0(ξ),P1(ξ),…,Pk(ξ))T表示Legendre基函數;Wj(t)=(wj,0,wj,1,…,wj,k)T為上Ij的自由度,則在Ω上的自由度為集合Wj(t),即W=[W1;W2;…;WJ]。

1.3 相關定義

2 LDG方法

(6)

由于是齊次Nuemann邊界條件,因此2個邊界點的數值通量的定義為如下形式

2.1 廣義Gauss Radau投影

為了得到誤差估計,選取2個廣義Gauss Radau投影:對任意足夠光滑的函數z,廣義Gauss Radau投影Pθz定義了Pk(Ij)的唯一函數,滿足

2.2 主要結果

考慮到邊界條件和跳躍項的定義,對式(4)和式(5)在整個區域上求和

對以上2式求和

(7)

其中

定理1(穩定性分析) 對于系統式(4)和式(5),利用LDG方法所得到的數值解在L2范數下是穩定的,即數值解wh滿足‖wh(·,T)‖≤‖wh(·,0)‖。

證明 令vh=wh,qh=ph,并將其代入式(14)中得

對于式(9)右端第1項,進行分部積分有

利用數值通量的定義式(6),可以得到

通過以上推導可得到式(9)右端第2項的2種表達形式即

代入式(9)可以得到

B(wh,wh,ph,ph)=0

(10)

將式(10)的結果應用于式(7),可得到

即

由此可得出結論:

證明 令

是顯然成立的,考慮式(7)、式(11)和式(12)可得

(13)

將vh=εw,qh=εp代入式(13)有

(15)

通過Cauchy-Schwarz不等式和Young’s不等式,可得

(16)

則根據Gronwall不等式、式(15)和式(16)可得到誤差分析結果。

3 時間離散

利用矩陣指數法來研究時間離散系統,式(4)和式(5)可以寫成如下的矩陣形式

(19)

W(0)=W0

4 數值算例

求解Burger’s方程(1),初值條件為u(x,0)=sin(πx)0≤x≤1。

取J=25,分別取v=0.1,0.01,則可以得到在T=0.2,0.5,1.0,2.0時的數值解(圖1)。

圖1 當T=0.2,0.5,1.0,2.0時,分別取v=0.1和v=0.01所對應的數值解Fig.1 Numerical solution at different times T=0.2,0.5,1.0,2.0 for (a)v=0.1 (b)v=0.01

5 結 論

應用廣義交替數值通量,通過LDG方法對Burger’s方程進行了求解。首先通過Hopf-Cole變換將非線性Burger’s方程轉化為線性熱方程;然后通過LDG方法對一階常微分方程離散化;最后利用指數矩陣方法求解常微分方程組。通過對數值算例的數值結果進行仿真計算,證實了通過選取廣義交替數值通量的LDG方法求解Burger’s方程是高度有效的。