分數階玻色-愛因斯坦凝聚態的數值方法

邵永運, 韓子健, 張榮培, 王 語

(1. 沈陽師范大學 學科與科研工作處, 沈陽 110034; 2. 沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

超低溫磁囚禁原子氣體凝聚實驗的成功實現,引起了原子物理學界的廣泛關注。自1995年以來,有關玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)的實驗取得了飛躍性的進展,與此同時,關于BEC的理論和數值方法也取得巨大的進步,計算BEC的基態、第一激發態以及動力學特性是BEC研究的基本問題之一。經典的非線性薛定諤(NLS)方程,也被稱為Gross-Pitaevskii方程(GPE),已廣泛用于描述BECs的基態和動力學特性。

近年來,分數階算子的引入引起了人們對分數階薛定諤方程的關注[1],在分數階微分算子的離散方面,許多學者提出了不同的有限差分方法。 Meerschaert和Tadjeran[2]提出了一階帶有偏移項的Grünwald算子;基于以前的工作,田等[3]發展了兩類二階加權偏移Grünwald-Letnikov (WSGD)算子; Ortigueira首先提出了分數階中心差分格式; Duman[4]對其進行了分析,將其應用于分數階擴散方程;郭等[5]證明了它全局光滑解具有唯一性; Simone Secchi[6]利用Nehari流行最小化方法建立了薛定諤方程的一類解,包括分數階拉普拉斯算子;Xavier Antoine[7]對無限勢阱中分數階薛定諤方程的基態和第一激發態進行了數值研究,并分析求解了分數階拉普拉斯算子的特征值和特征函數;唐等[8]利用高效的數值方法解決了旋轉和帶有非局部相互作用的分數階薛定諤方程(FSE)中的基態和動力學問題。

本文針對分數階玻色-愛因斯坦凝聚態(BEC)展開研究,當BEC中的粒子不服從高斯分布律時,分數階薛定諤方程被命名為分數階Gross-Pitaevskii方程(FGPC)[9-10]。本文將研究不同勢阱中FGPE的基態和第一激發態,從而了解其數學和物理性質。在定態解中,應用離散化歸一化梯度流(DNGF),用于證明其能量減少;在空間離散方面,使用具有二階精度的WSGD方法;在時間離散方面,采用隱積分因子方法[11-12],該方法精度高、穩定性好。最后利用數值算例來驗證理論分析。

1 分數階Gross-Pitaevskii方程和歸一化梯度流

1.1 分數階Gross-Pitaevskii方程

通過在更一般的Lévy類量子路徑上擴展Feynman路徑積分方法,可以使用分數階拉普拉斯算子-(-Δ)α替換經典的拉普拉斯算子Δ來獲得分數階Gross-Pitaevskii方程。

(1)

其中V(x)是一個實值的無量綱的勢阱,其形狀取決于系統的類型。本文采用的勢阱為諧振子勢[13]:

其中x∈R,γ是一個正常數。

一維情況下,式(1)中的分數階拉普拉斯算子可以被定義為Riesz分數階導數:

其中左右Riemann-Liouville分數階導數定義如下:

(3)

式(2)中的Γ(·)表示標準的伽馬函數。

在式(1)中有2個重要的不變量:

質量:

(4)

能量:

(5)

為了找到式(1)的穩定解,這個函數可以表示為

Ψ(x,t)=e-iμtφ(x)

(6)

其中:μ是凝聚物的化學勢,φ是與時間無關的實函數。將式(6)帶入式(1)中,得

在式(4)的條件下,

可以看到這個問題的本質是帶約束條件的非線性特征值問題。相應的特征函數φ(x)可以通過使用下面的形式計算,特征值μ可以通過下式計算

這里Eβ(φ)是式(5)中給出的與φ相關的能量函數。在物理學的觀點中,基態被認為是單位球面S={φ|‖φ‖=1,E(φ)<∞}上的能量最小值

其他能量大于Eg的特征函數在物理上稱為激發態。

1.2 分數階歸一梯度流

使用歸一化梯度流法來計算分數階Gross-Pitaevskii方程的最小能量問題。將時間步長設為Δt,設Δt>0,顯然,tn=nΔt,n=0,1,2,…,在每個時間間隔[tn,tn+1]內。對能量函數Eβ(ψ)采用最速下降法[14-15],可以得到

(7)

然后,在每個時間間隔結束時,通過投射單位球面式(4)來對該解進行歸一化處理,即

(8)

從數值的角度來看,分數階擴散方程可以用傳統的有限差分方法進行離散化處理,并且可以在每個時間步長的末端實現歸一化處理。離散歸一化(GFDN)式(7)和式(8)的梯度流的初始條件可設為

φ(x,0)=φ0(x),x∈R, with‖φ0‖=1

2 數值方法

2.1 WSGD算子

到目前為止,Riemann-Liouville分數階導數式(3)和Riesz分數導數式(2)可以通過多種差分方法近似,如WSGD方法[16-17]和分數階中心差分方法[18]等,每種方法都有其自身的特點。本文將用WSGD方法近似左右Riemann-Liouville分數階導數。偏移的Grünwald算子定義如下:

通過對偏移Gruünwald算子進行加權(WSGD),得

綜上,WSGD算子可以重新定義為

并且,式(9)和式(10)中的系數滿足以下條件

2.2 空間離散

在實際計算中,通常采用滿足整個區間邊界條件的有限子區間。 取Ω=[a,b],其中a和b足夠大,以便忽略截斷誤差。

由于齊次Dirichlet邊界條件,分數階拉普拉斯算子可以表示為

空間區域Ω=[a,b]離散為

xj=a+jh,j=0,1,…,J

由此,得到了WSGD逼近算子

(11)

φ在節點xj處的解可以用一個列向量表示出來

Φ=(φ1φ2…φJ)T

分數階微分算子的微分矩陣可以表示為

式(11)中分數階拉普拉斯算子的微分矩陣可以定義為

綜上,完成了關于空間的離散,得到了如下的常微分方程組:

(12)

2.3 隱式積分因子法

半離散公式(12)可以改寫為以下形式:

(13)

其中:A=D;F(Φ)=-VΦ-β|Φ|2Φ;設時間步長為τ,則tn=nτ,n=0,1,2,…。

將式(13)左乘積分因子e-At并在一個時間步長tn到tn+1內進行積分,得

(14)

然后在tn+1,tn,…,tn-r+2點進行插值。通過r-1階拉格朗日插值多項式來逼近式(14)中的被積函數以獲得r階的IIF格式,

在本文中,使用的是二階的IIF格式(IIF2)如下:

3 數值實驗

圖1 (a) β=1和(b) β=3時的基態解及(c) β=1和(d) β=3時的能量演化

圖2 (a) β=1和(b) β=5時的第一激發態解以及(c) β=1和(d) β=5時的能量演化

4 結 論

本文運用2種高效、高精度、高穩定性的數值計算方法計算分數階非線性量子波動方程,即分數階GP方程。WSGD方法有二階精度,隱式積分因子法計算量和存儲量小,并且2種方法均是無條件穩定的。通過與其他數值解法的比較,表明了這2種方法的可行性。數值實驗計算了在區域邊界和內部的并且帶有諧振子勢的基態和第一激發態。